11.4 一些關於 Fubini 定理的例子

我們給一些例子，表明 Fubini-Tonelli 定理中的條件是必不可少的。

Example 11.10 若函數 不是可積的, 那麼Fubini/Tonelli 定理不適用：令， , 為 Lebesgue 測度。令 ${delta_n}$ 為一實數列，且 , $lim_{n oinfty} delta_n = 1$ 。令是一個連續函數，它的支撐包含在區間 $(delta_i, delta_{i+1})$ 中, 滿足。令

$f(x,y)=sum_{i=1}^infty[g_i(x)-g_{i+1}(x)]g_i(y)$

注意到在每一點 , 的連加項中最多隻有一項是不等於零的，這是因為對於每個最多隻有一個會使 $y in (delta_i, delta_{i+1})$ 。所以不需要擔心的定義不收斂/不存在。同時因為 $lim_{n oinfty} delta_n = 1$ ，所以 $lim_{n oinfty}g_n(x)=0$

若我們先對

再對

積分 (運用 Proposition 7.5)： $int_0^1dx,int_0^1f(x,y), dy=int_0^1dx,int_0^1sum_{n=1}^infty[g_n(x)-g_{n+1}(x)]g_n(y),dy$ $=int_0^1,dxsum_{i=1}^inftyint_0^1[g_i(x)-g_{i+1}(x)]g_i(y),dy=int_0^1sum_{n=1}^infty[g_i(x)-g_{i+1}(x)],dx$

$=int_0^1g_1(x)-lim_{n oinfty}g_n(x),dx=int_0^1 g_1(x),dx = 1$

若我們先對

再對

積分 (運用 Proposition 7.5)： $int_0^1dy,int_0^1f(x,y), dx=int_0^1dy,int_0^1sum_{n=1}^infty[g_n(x)-g_{n+1}(x)]g_n(y),dx$ $=int_0^1,dysum_{n=1}^inftyint_0^1[g_n(x)-g_{n+1}(x)]g_n(y),dx=int_0^1 sum_{n=1}^infty g_n(y)-g_n(y)~dy=0$ 所以

int_0^1dx,int_0^1f(x,y),dy
e int_0^1dy,int_0^1f(x,y),dx

這邊，Fubini/Tonelli 定理不適用是因為函數不可積：

考慮集合 $A_{i,j}=(delta_i, delta_{i+1}) imes (delta_j, delta_{j+1})$ ， $int_{A_{i,i}} |f(x,y)|~d(x,y) ge igg | int_{A_{i,i}} f(x,y)~d(x,y)igg |=igg | int_{A_{i,i}} g_i(x)g_i(y)~d(x,y)igg |=|1|=1$ $int_{A_{i+1,i}} |f(x,y)|~d(x,y) ge igg | int_{A_{i+1,i}} f(x,y)~d(x,y)igg |=igg | int_{A_{i,i+1}} -g_{i+1}(x)g_i(y)~d(x,y)igg |=|-1|=1$ 所以 $int_{A_{i,j}} |f(x,y)|~d(x,y) egin{cases} ge 1, i=j ~或~i = j+1 \ =0, 其他 end{cases}$ , 故：

$int_{X imes Y} |f(x,y)|~d(x,y) =0+sum_{i=1}^infty int_{A_{i,i}} |f(x,y)|~d(x,y)+sum_{i=1}^infty int_{A_{i,i+1}} |f(x,y)|~d(x,y) ge sum_{i} 1= infty$

Example 11.11 若測度不是 -有限，則 Tonelli 定理不適用 令，為 Lebesgue 測度。是上的計數測度 (counting measure, 詳見 3.1 節 Example 3.2)，令 $f(x,y)= egin{cases} 1, x=y\ 0 , x e y end{cases}$ , 那麼:

$forall yin [0,1], int_X f(x,y)~dmu(x)=1 cdot mu({y})=1 imes 0=0$ $forall xin [0,1], int_Yf(x,y)~d u(y)=1cdot u({x})= 1 imes 1 = 1$

於是：

這邊，Tonelli 定理不適用是因為計數測度

不是

-有限的。註：這邊我們默認取可測空間為

，即 Lebesgue 可測集與冪集。可以看到例子中函數

是可測的。給定

, 構造區間 $I_j=igg[frac{j-1}{n},frac{j}{n}igg]$ ，再構造集合 $D=igcap_{n=0}^inftyigcup_{i=1}^nigg(I_i imes I_iigg)$ , 由

-代數的定義可知

是可測的。那麼例子中的函數可以寫成

也是可測的。註：你也許會問，既然兩個迭代積分不相等，Fubini 定理一定是不可能成立。但是注意這邊 Fubini 定理不是因為測度不滿足

-有限而不成立的。回憶上一章我們說過 Fubini 定理不一定需要

-有限的條件也成立，只要乘積測度去最大測度就可以。在這個例子，如果我們取

的最大乘積測度，那麼我們可以看到

在這個測度下是不可積的。所以 Fubini 定理還是因為函數的不可積而不適用。

Example 11.12 若函數 不是可測的，那麼 Fubini/Tonelli 定理不適用 首先，我們的構造會用到事實，即，這樣的偏序集是存在的：是不可數集，但是給定任何一個 , 集合是可數集。這樣的集合確實是存在的，一個例子就是由可數序數構成的集合, 即 (註：被稱為第一不可數序數, first uncountable ordinal，是最小的不可數的序數，而根據序數的構造，本身就是一個集合，包含了所有的可數序數)。我們的可測空間取成 $mathcal A = sigma({A in X: A 可數，或者 A^c 可數})$ 。定義 $mu(A)= egin{cases} 1, A 不可數 \ 0, A 可數 end{cases}$ , 令 ; 考慮乘積空間 , 定義 $f(x,y)= egin{cases} 1, x le y \ 0, x otle y end{cases}$ 。那麼：

$forall x in X, int_Yf(x,y)~d u(y)= u({y le x}) imes 0 + u({y le x}^c) imes 1=0 imes 0 + 1 imes 1 = 1$ $forall y in Y,~int_X f(x,y)~dmu(x)=mu({x le y}) imes 1 + mu({x le y}^c) imes 0 = 0 imes 1 + 1 imes 0 =0$ 於是：