線段是點的集合。

點落在線段上某處的概率為零。

因為長度是一種測度，測度只具有可數可加性，也就是說可數個不相交的集合的測度等於他們並集的測度，而顯然線段是由不可數個點構成的，因此線段的測度不等於點的測度之和。

這個問題非常有意思。這個問題最早在微積分剛剛創立的時候就被提出過，而且當時微積分的奠基人們也沒法回答這個問題。帕斯卡的解決方案是，我們應該把線段看成是一系列小線段的組合而不是點的集合。但是線段確實是點的集合，而點確實是沒有長度的。這個問題真正得到解決是在測度論和集合論提出之後。答案是，不能把線段的長度，或者叫測度，看作是點的測度的求和，原因在於線段上的點集是不可數的。你不可能去把一個不可數的集合求和。於是，儘管點的測度為零，但是線段的長度可以不為零，哪怕線段是點組成的。

你不可能在知乎上徹底搞懂這個問題

因為「實變函數學十遍」

零維 點沒有長度

一維 線沒有寬度

二維 面沒有高度

三維 體在第四維的度量為零

四維 四維超體在第五維的度量為零

五維 五維超體在第六維的度量為零

…………

線段的長度是線段的固有屬性，不是點的長度的疊加。

因為線段的長度不等於線段上的點的長度的集合。

這個啊……因為實線段上點的個數是 不可數無窮個 不可數無窮個零相加就不一定是不是零了

具體可數無窮和不可數無窮還有連續統的概念去找個關於測度的文章看看就知道了

應該說是線段是由無窮多個點規則排列而成的 就像是可積的概念 有限個間斷點還是可積的 說明某一個點的缺失不影響線段的長度 更不影響面積 所以說回來 主要的問題就是無窮多個點 這個無窮你怎麼理解

一個點當然是沒有長度的 但是無窮個點不是一千個一億個 是無窮

無窮大完全不是數字 是一種無限逼近的狀態或者說過程 就像是1/0是不存在的但是1/x 使x無限接近於0 那麼這個 就是無窮大

這個我知道。

點是個人造的虛擬數學概念，客觀世界不存在純粹的數學意義上的點，所以從引入數學定義的那一刻起就沒有給他賦予長度這個標量。

線段是由無數個點組成的，但是對線段來說，這只是個說法，而且一米長的線段和兩米長的線段具有同樣多的點，無窮多個。

所以，和點無法具備體積屬性一樣，線段這個概念也不具備體積這個概念。線段的長度為可測量標量，而線段的寬度則和點的直徑一樣被定義為無限接近於零。

線段為什麼會有長度，是因為引入定義的目的就是為了更簡便的解決數學問題，所以就賦予了它長度的這個標量。

實際上線段由無數個點集合而成這個說法也有些問題，應該是線段是由更小的線段集合才對。點的集合仍然是無數個散列的點，組不成連續可積分的函數。

至於為什麼會定義出來這麼反科學規律的東西，那還是因為數學的本質，數學本身是哲學的一部分，哲學的目的是讓人能更好和更方便的理解世界。

數學是其他科學的統一性簡潔表達，所以歸到最後，數學要足夠簡潔，足夠方便。不然就會出現小學生被迫學習微積分的現象。

類似的還有溫度這個單位，溫度的定義是微觀粒子平均動能的宏觀表達，所以說嚴格來說溫度這個單位是不存在的，因為你永遠無法準確的定義每個粒子的平均動能，而且平均動能嚴格來說是個矢量，而不是個無方向的標量。但是人為了更加簡便的計算某些問題，就要引入一個表示宏觀物體內能的標量。

科學總歸是由人使用的，如果科學本身不能被人所理解，那麼這個科學就會成為無根之木，無法長久。

人總是要能先看到一個蘋果加一個蘋果是兩個蘋果，然後才能逐漸的認識到在某些情況下一加一不等於二。如果一開始就說一加一不等於二，那與人對外界的認知完全不同，無法理解，那這科學也就要亡了。

從理論上講是因為勒貝格測度只具有可數可加性。不過在構建勒貝格測度的時候其實是先預設了區間的測度，然後通過這個定義可以推導出來可數可加性。至於為什麼這麼預設，因為這是十分自然且與人們的常識相符的。

點是無窮小量，因為是無窮小量，所以點沒有長度。但無窮多個無窮小量相加就未必還是無窮小了，所以線段有長度。

龜兔賽跑謬論怎麼解決??

www.zhihu.com圖標

上文高贊給出了一個答案。

簡單來說：

  1. 這個世界不是連續的。
  2. 這個世界不是可以無限分割的。

這兩點其實是一點。

歐幾裏得幾何原本卷一之首：點為線之界，線為面之界，面為體之界，體不可為界。界之間為形。（幾何學圖形簡稱「形」）

所以，點依附於線而存在。即先有線的概念，纔有點的概念。線段不是由點構成的。（「線段是點的集合」這種說法不成立）

點沒有大小沒有部分。線段是最簡單最基本的形。

https://mp.weixin.qq.com/s/EvJfCKwJ6ALDy8B52RUeTg

明白了這個道理，我們就可以建立一種新的數學語言，以刻畫物質及其運動。

未來世界科學復興之路?

mp.weixin.qq.com圖標

描述長度的現代數學概念叫測度，測度只有可列可加性

剛覺點沒有長度就是錯的，你能找出一個沒有長度的點嗎？

線段可以看做是兩點之間的空間距離

你好。

根據定義，它具有長度。

補充，小男孩與成為爸爸的男子相比。也有一種只會啃老族的大男孩。還有一點小男孩直接成為睿智慈祥的老人家是可怕的一件事。就像點突然變成了一個面積一樣可怕。就像線段沒有面積一樣，面是由線段組成的。當線段組成面後，就帶有面的特性了。沒必要要求線段本身就要有面積吧！

我受過的高等數學教育還很少。從直觀感覺出發，想問大家這樣一件事：

能否認為點的長度不是0，而是一個無窮小量？

我理解是，點動成線，線段是點在一個空間維度上的運動軌跡。線段比點增加了一個維度。對點來說根本不存在「長度」這個維度。這就和線段的面積，面的體積一樣的。

對你來說，存在「長度」「面積」「體積」，因為你存在於三維空間中。對點來說不存在。

落在某點即使概率為零，也是可能發生的。

微積分是分割成無窮小，無窮小接近零，而點是零。

怎麼說呢，上一刻的你存在嗎？當然存在過。但是存在了幾秒呢？0秒。

推薦閱讀：
相關文章