如果你說的測度空間是 [公式] （這裡 [公式] 為Lebesgue測度， [公式] 為所有Lebesgue可測集組成的集合，即實變函數討論的情形）的話，我們有：如果一個集合的Lebesgue外測度 [公式] ，那麼 [公式] 為Lebesgue可測的。

證明：

由外測度定義， [公式] ，其中 [公式] 為所有包含 [公式] 的開集。

則 [公式] 為開集，包含 [公式] ，且 [公式] 。

由外測度的單調性， [公式] 且 [公式]

即總是存在一個開集 [公式] 包含了 [公式] 且使得 [公式] 的外測度充分小。由定義， [公式] 為Lebesgue可測的。

但是對於一般的測度空間，這個命題不一定成立。

我們可以舉出反例：

在 [公式] 上（這裡 [公式] 為Lebesgue測度， [公式] 為實數域上的Borel域），考慮Borel域的大小。由於Borel集可以看成是 [公式] 生成的 [公式] 域，故Borel域和實數域是一樣大的。但是考慮Cantor集，其為一個零測集且為不可數集。故所有Cantor集的子集為零測集從而為Lebesgue可測集，但是Cantor集共有 [公式] 個子集。故必定存在一個Cantor集的子集 [公式] ，其不為Borel集。那麼 [公式] 就是一個非Borel可測的Lebesgue可測集，且在 [公式] 上，有 [公式] 成立，其外測度為 [公式] 。

事實上，一個測度空間被稱為是完全的當且僅當任意可測的零測集的子集都是可測集。實變函數中有上述結論的本質原因是 [公式] 是個完全測度空間（Caratheodory定理）而 [公式] 並非完全測度空間。事實上， [公式] 揭示了這兩個集合系之間的關聯。

不一定

這個結論只有在完備測度空間中才成立

實變函數裏很基礎的一個事實： A為零測集，當且僅當A的外測度為0

那麼設A為一零測集，B包含於A，B的外側度一定小於等於A的外測度（是0），即B的外測度是0，B為零測集，為可測集

可測，因為是零測集。對於完備測度空間而言。

關於把一個零測集的子集可能不可測的測度函數擴張為每個零測集的子集都可測的測度函數的技術可以參考以下鏈接：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/62365261?

zhuanlan.zhihu.com圖標

(真夠拗口的啊，這個是實變榮譽課提到的定理，在知乎上隨便找了一個聯接)

對一切的outer measure都對。但如果只是一般measure space是不對的。另外對一般的measure space是很容易做出一個complete measure space的。

在目前我所學範圍內，零測集的子集必然可測。

原因:

首先外側度為0的集合一定可測，而零測集的子集的外側度≤該零測集的外側度，所以此子集外側度為0，因而可測。

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