已知平面上一橢圓 與一雙曲線 有四個交點, 均為正數。
1.求證 有四個交點的充要條件是 。
2. 過 上的動點 作它的切線 ,證明 與 恆有兩個交點。
3.令 與 的交點為 ,它們的中點為 ,求 的軌跡方程。
4.求證 的軌跡 關於原點及 軸對稱,且位於 兩直線左右兩側與橢圓 圍成的蝴蝶結形區域內。
解:
1.聯立橢圓與雙曲線方程,消去y,得到
恆為正,x有兩解。
消去x,得到
交於四個點時,y需要有兩解,
∴
2.若 是水平線,必然與雙曲線交於兩點,不合題意。
所以設 ,與雙曲線方程聯立得
與雙曲線相切,二次項係數不能為0
並且
即直線 不能過原點,橫截距 ,斜率的倒數
直線與橢圓方程聯立得
∵ 均為正數,且
因此 與橢圓恆有兩個交點。
(雙曲線切線有斜率不存在的情況,故以y為自變數更方便)
3.設點M的坐標為 ,則
整理得 ,將 代入(1),得
對方程(2)應用韋達定理,J、K的縱坐標滿足
M是JK的中點
將 代入(4),整理得
直線 不過原點,
∴ (也可對橢圓方程使用點差法得到)
代入(3),整理得M的軌跡方程為
不含原點。
(此問若思路不對,運算化簡會非常繁瑣)
4.
根據求出的方程,軌跡上任意一點 ,它分別關於原點、x軸、y軸的對稱點 也都滿足軌跡方程。
∴軌跡關於原點中心對稱,且關於x、y軸對稱。
方程移項可得
由於曲線不過原點,一定有
∴曲線一定位於 兩條直線的左右兩側。
要證M的軌跡在橢圓 內,即證M的坐標滿足
即
由(5)可知
又已知
所以只須證明
由(4)式可得
兩邊同時平方,用(1)代入消去t得
分母是關於 的函數,且在定義域 上單調遞減。
∴ ,當且僅當 時取最大值。
成立,M的軌跡 位於橢圓 內。
(此問訓練用代數方法探究複雜曲線的幾何性質。軌跡圖形如下,為去掉原點的雙扭線。)
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