我認為其實應該是經過一個點的，但是根據導數的定義，我們要知道兩個點才能求出斜率，所以第二個點，就在函數上取一個無限接近第一個點的點，一直取到極限，其實這個時候的斜率就是切線的斜率

切線本質是在切點附近只經過切點這一個點。

但是經過一個點和根據導數求斜率之間有矛盾嗎?

導數的定義就是函數在某點的變化率，反映在圖像上就是該點切線的斜率。

你可能沒有理解「在某一點的變化率「是什麼意思，對「在一點上怎麼能變化「這類問題有疑惑。

所以建議理解完極限的定義再來思考這個問題。

畢竟導數定義也建立在極限上。

切線只有在討論圓或者少數特殊的曲線的時候才會涉及「結果一個點還是兩個點」的問題。比如初中幾何就學過圓的切線與圓相交於一點。然而你自己去看三次函數，或者橢圓曲線的切線，就會發現並不是這樣。如圖(網上隨便找的)：

(這個「2 * P」是橢圓曲線上的加法，可以理解成P + P，你不用管)

切線的本質是「割線的極限」，所以你必須要從極限的角度來看切線。通俗地說，比如圓上的割線與圓交於兩點，當你固定一個點，讓另一個點逐漸逼近固定的那個點時，你會看到兩個點所對應的割線逐漸逼近你想要的切線。如圖(還是網上找的，不過應該是個指數函數的圖像)：

推薦題主翻一翻《託馬斯微積分》對應的章節，我記得有一章好像就討論過類似的問題。

在數學分析課本中講到導數的意義時引入了切線的定義指出切線是割線的唯一的極限位置。利用(x?＋Δx,f(x?＋Δx))與(x?，f(x?))兩點來表示出割線的斜率，從而求極限得出切線的斜率。從幾何意義上來看，切線只經過了一個點，但是由一點來得出斜率難免有疑問。我從割線斜率求極限得到切線斜率的角度，把這個疑問理解為切線的斜率可以是兩點確定的，但是這兩個點要滿足一個重要的條件，就是這兩個點之間不存在第三個與這兩個點中任意一個都不重合的點，當然這樣的解釋是相當不嚴謹的，但是我覺得可能有助於幫助題主去理解這個問題。

兩個點求極限 不還是兩個點嗎

本質上是兩個點，但是這兩個點無限接近時斜率趨於固定，嚴格來說是兩個無限接近的點。你之所以有這個疑問是因為在使用時通常會說成某一點的斜率，實際上本質是還有一個無限趨近於這個點的」點」

1，切線本質是經過一個點。

2，你的問題可能指向：一條線必須2個點才能確定，那一個點就感覺有問題了。

3，但你可以反過來思考，所有經過函數上2個點的（包括其中本身那個點）都不是切線（如果是，就是有無數種切線情況，那也就無所謂切線，這就是為什麼1+1=2，而不寫成1+1=4-2，因為2是唯一」最簡單」的寫法）那麼剩下就唯一一種確定的方法，就是經過那唯一的一個點。

4，你不斷」排除」經過2個點的線，就是極限的意思。最終只剩下最後一條和函數相交的線。

5，如何計算不斷排除的情況，也就是不斷逼近的情況，那就是計算極限了。只是算斜率的極限，正好叫做 導數罷了。

6，我估計是對極限的理解問題。在我看來極限是一個用質變 去 」代替」 量變的方法。

7，為什麼是代替？因為實際上你更本畫不出只經過一個點的切線。換個解釋，你更本畫不出精確的1米的線，一個道理。

8，至此，你可以瞭解到 極限這種」理論值」是幫助我們 」簡化」實際問題，而並不是精確描述」實際」問題。因為人類的描述或者說」測量」能力是有限的。

推薦閱讀：
相關文章