久期，修正久期，美元久期的来龙去脉！

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久期的出现最早是解决债券的名义期限不足以反映债券投资收回资本和收益的真实期限的问题。

如果，现在有为期1年的零息债券，也就是在1年间不发任何利息。这时的名义期限是1年，投资者收回资本和收益的时间也就是1年。但是如果这一年期的债券半年付息一次，也就是说在年中，会受到一笔债券的利息收入，投资者在收回部分资本和收益的时间提前了半年，如果摊到1年来看，也就是说收回全部资本和收益的时间实际上是减少了的。为了解决名义期限在处理上述问题时的问题，1938年，麦考利（Macaulay）提出了久期的概念。

这时久期的经济学表述为：收回债券投资现金流的加权平均时间。数学表达如下：

duration = frac{sum_{1}^{n}{frac{iC}{(1+y)^{i}}}+frac{nM}{(1+y)^{n}}}{P}

式中C为每期利息，y为到期收益率，也就是折现率，n为期限，P为价格

D为久期（duration），每一期现金流的折现除以债券的现值（价格）为权重，在乘以当期的时间。该久期也称麦考利久期，久期也特指麦考利久期，以纪念麦考利用该指标而不是期限作为债券投资余额平均期限长度的指标的贡献。

在此，久期在经济学上就有了一定的经济学含义。这也是这个词英语duration的来源。

如果你进一步对债券定价模型进行数学换算，就会发现还有更有趣的事情。

这是债券的定价公式，折价求和

duration = {sum_{1}^{n}{frac{C}{(1+y)^{i}}}+frac{M}{(1+y)^{n}}}

我们以P和y为变数，用P对y求导：

整理

发现

红色部分正好就是麦考利久期

而左边是债券价格对利率的敏感性，所以久期的经济学含义就拓展了，可以延伸到价格对利率的敏感性上来。

对应历史，1952年雷丁顿（Redington）和1945年塞缪尔森（Samuelson）分别独立把久期应用到分析金融机构的利率敏感性上。

将上面的式中简写

frac{dP}{dy}frac{1}{P}=-frac{1}{1+y} imes麦考利久期

就得到了债券价格与利率变化相反。

但是为了更简单得反映价格对利率的变化，就出现了修正久期和美元的久期的概念。

修正久期

修正久期=frac{麦考利久期}{1+y}

简化得

frac{dP}{dy}=-P imes修正久期

美元久期

美元久期=-P imes修正久期

简化

frac{dP}{dy}=-美元久期

所以修正久期和美元久期的出现只是为了让价格对利率的敏感性的数学表达式更加简洁而已。


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