久期，修正久期，美元久期的來龍去脈！
久期，修正久期，美元久期的來龍去脈！
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久期的出現最早是解決債券的名義期限不足以反映債券投資收回資本和收益的真實期限的問題。
如果，現在有為期1年的零息債券，也就是在1年間不發任何利息。這時的名義期限是1年，投資者收回資本和收益的時間也就是1年。但是如果這一年期的債券半年付息一次，也就是說在年中，會受到一筆債券的利息收入，投資者在收回部分資本和收益的時間提前了半年，如果攤到1年來看，也就是說收回全部資本和收益的時間實際上是減少了的。為瞭解決名義期限在處理上述問題時的問題，1938年，麥考利（Macaulay）提出了久期的概念。
這時久期的經濟學表述為：收回債券投資現金流的加權平均時間。數學表達如下：
式中C為每期利息，y為到期收益率，也就是折現率，n為期限，P為價格
D為久期（duration），每一期現金流的折現除以債券的現值（價格）為權重，在乘以當期的時間。該久期也稱麥考利久期，久期也特指麥考利久期，以紀念麥考利用該指標而不是期限作為債券投資餘額平均期限長度的指標的貢獻。
在此，久期在經濟學上就有了一定的經濟學含義。這也是這個詞英語duration的來源。
如果你進一步對債券定價模型進行數學換算，就會發現還有更有趣的事情。
這是債券的定價公式，折價求和
我們以P和y為變數，用P對y求導：
整理
發現
紅色部分正好就是麥考利久期
而左邊是債券價格對利率的敏感性，所以久期的經濟學含義就拓展了，可以延伸到價格對利率的敏感性上來。
對應歷史，1952年雷丁頓（Redington）和1945年塞繆爾森（Samuelson）分別獨立把久期應用到分析金融機構的利率敏感性上。
將上面的式中簡寫
就得到了債券價格與利率變化相反。
但是為了更簡單得反映價格對利率的變化，就出現了修正久期和美元的久期的概念。
修正久期
簡化得
美元久期
簡化
所以修正久期和美元久期的出現只是為了讓價格對利率的敏感性的數學表達式更加簡潔而已。
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