半音音阶的三个八度音阶在表2.2a中用A、B、C、…表示。钢琴上的黑键显示为升音，例如C右边的#代表c#等等，并且只显示最高的八度。在半音音阶中每一个连续频率的变化都被称为半音并且一个八度有12个半音。大调的间隔和表示这些间隔的频率比的整数分别显示在半音音阶的上方和下方。除了这些基本间隔的倍数之外，大于10的整数产生的间隔对耳朵来说并不容易识别。在表2.2a中，最基本的音程是八度，高音的频率是低音的两倍。C和G之间的间隔称为五度,C和G的频率是2比3。大三度有四个半音，小三度有三个半音。与每个间隔相关联的数字，例如4度中的4，是白色键的数量，没有进一步的数学意义，包括C大调音阶的两个结束键。注意，「音阶」在「半音音阶」、「C大调音阶」、「对数或频率音阶」(见下文)中有不同的含义，第二个是第一个的子集。

从上面我们可以看到四度和五度「加起来」是一个八度音，大三度和小三度「加起来」是五度。注意，这是对数空间中的一个加法，如下所示。下面还解释了缺少的整数7。

「平均调」(ET)半音音阶由「等」半音组成或每一个连续音符上升半音。它们是相等的，任何两个相邻音符的频率之比总是相同的。此属性确保每个音符与任何其他音符相同(除了音调)。音符的这种一致性允许作曲家或表演者使用任何键，而不会碰到不和谐，如下所述。在ET音阶的八度中有12个相等的半音，每一个八度都是频率2的精确因子。因此，每个半音的频率变化是由

semitone12 = 2 or semitone = 21/12 = 1.05946 . . . . . . . . . 公式(2.1)

公式(2.1)定义了ET半程音阶，并允许在此音阶下计算「间隔」的频率比。ET中的「间隔」与理想间隔的频率比如何比较?对比结果如表2.2b所示，说明从ET音阶得到的间隔极接近理想间隔。

第三个的误差是最坏的，是其他间隔的五倍多，但仍然只有1%左右。尽管如此，这些错误还是很容易被听到的，一些钢琴爱好者慷慨地把它们称为「三拍子」，而实际上，它们是不可接受的不和谐。如果我们要采用ET音阶，这是一个我们必须学会适应的缺陷。四度和五度的错误在中央C附近产生了大约1赫兹的节拍，在大部分音乐中几乎听不到，然而，这个节拍的频率在每一个较高的八度上加倍。

如果这个整数7包含在表2.2a中，那么它将表示一个比值为7/6的区间，并对应于一个semitone2。7/6和semitone2之间的误差超过4%，而且太大了，无法形成音乐上可接受的音程，因此被排除在表2.2a之外。12音符的半音音阶产生如此多的接近理想音程的比率，这只是一个数学上的意外。只有数字7，偏离8个最小的整数，产生了完全不可接受的间隔。半音音阶是基于自然的幸运数学的意外!它是通过使用可以给出最大的音程数的最小的音符数来构造的。难怪早期文明相信这种音阶有某种神秘之处。在八度音中增加键的数量并不会对音程有很大的改善，直到数字变得很大，这使得这种方法对大多数乐器来说都不太实际。

注意，四度和五度的频率比值加起来并不等于八度(1.5000 + 1.3333 = 2.8333 vs 2.0000)。相反，它们在对数空间中相加更加合理，因为(3/2)x(4/3) = 2。在对数空间中，乘法变成加法。为什么这很重要?答案是，因为耳蜗的几何结构似乎有一个对数分量。在对数音阶上探测声波频率可以实现两件事:在给定的耳蜗尺寸下，你可以听到更大的频率范围；分析频率的比率变得很简单，因为你不需要分割或相乘两个频率，只需要减去或增加它们的对数。例如，如果C3在一个位置被耳蜗检测到，C4在2毫米之外的另一个位置被检测到，那么C5将在4毫米的距离被检测到，就像计算尺计算器一样。为了向你展示这有多有用，给出F5，大脑就知道F4会2毫米后被发现!因此，间隔(记住，间隔是频率划分)在对数构造的耳蜗中特别容易分析。当我们演奏音程时，我们在一个叫做钢琴的机械计算机上进行对数空间的数学运算，就像20世纪50年代用计算尺所做的那样。因此，半音音阶的对数性质比仅仅提供更宽的频率范围有更多的影响。对数音阶保证了每个音程的两个音符之间的距离是相同的，无论你在钢琴上的哪个位置。通过采用对数半音音阶，钢琴键盘以机械的方式与人的耳朵进行数学匹配!这可能是为什么和声对耳朵来说是愉快的原因之一——和声最容易被人类的听觉机制破译和记住。

假设我们不知道公式2.1，我们能从间隔关系中生成ET半音音阶吗?如果答案是肯定的，钢琴调音师可以不需要做任何计算就能调好钢琴。事实证明，这些间隔关系，完全决定了12个半音音阶的所有音符的频率。音律是一组间隔关系，提供了这种判断。从音乐的角度来看，没有一个单一的「半音音阶」是最好的，尽管ET有它允许自由变换的独特属性。毋庸置疑，ET并不是唯一一种音乐上有用的音律，下面我们将讨论其他音律。音律不是一种选择，而是一种需要，为了适应这些数学难题，我们必须选择一种音律。没有基于半音音阶的乐器是完全没有音律的。例如，管乐器上的洞和吉他的颤动必须以特定的调和音阶为间隔。小提琴是一种非常聪明的乐器，因为它可以将张开的琴弦以五度间隔来避免所有的音律问题。如果你正确地调A(440)弦并以五度调所有其他弦，这些其他弦将会很接近，但不会被调和，除了一个音符(通常是A-440)，不过你仍然可以通过捻弄所有音符来避免音律问题。此外，颤音比音律矫正更大，使音律差异听不清。

需要上升音律的原因是从一个半音音阶调到一个音阶的过程中，(如拥有完美音程的C大调)在其他音阶中不能产生可接受的音程。如果你用C大调写了一篇有很多完美间隔的乐谱，然后把它调换一下，就会产生严重的不和谐。还有一个更根本的问题，在一个音阶中完美的音程也会在同一乐曲中产生其他音阶的不和谐。因此，我们设计了调和方案，通过在最重要的间隔中最小化完美间隔的调音，并将大部分不和谐的间隔转换为较少使用的间隔来最小化这些不和谐。与最坏的间隔有关的不和谐被称为「狼来了」。

当然,主要问题是间隔纯洁。上面的讨论表明,无论你做什么,总会有某处失调。它可能会让一部分人感到震惊，钢琴从根本上是一个不完美的乐器！几乎在每一个音阶我们只能永远处理一些妥协间隔。

「半音音阶」这个名字通常适用于任何音律的12音符音阶。不言而喻,钢琴的半音音阶不允许在音符间使用频率(可以用小提琴),所以有无限个失踪的音符。从这个意义上说,半音音阶是不完整的。然而,12音符音阶足够完成对于大多数音乐应用程序。情况类似于数码摄影。当解析度足够时,你无法看到数码照片和信息密度要高得多的模拟照片之间的差别。同样,12音符音阶对于足够多的音乐应用程序来说显然有足够的音高解析度。对于一个给定的乐器或音符数量有限的音乐符号系统来说，这12音符音阶是在为了尽可能保证完整性使得每八度有更多的音符和为了扩大人耳范围从而拥有足够的频率之间很好的一个妥协。

关于哪种音律是最好的音乐的争论是良性的。从最早的调音历史中ET被了解。把一种音律标准化是有一定好处的，但考虑到音乐观点的多样性以及现在存在著许多音乐这一事实，这可能是不可能的，甚至是不可取的，因为这些音乐都是以特定的音律写成的。因此，我们现在要探讨各种各样的音律。

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