MP43：從經典力學到量子力學(4)：正則對易關係、Poisson括弧、對易子

接著上講，我們通過位置算符和動量算符的複合作用，證明這兩個運算元是非對易的，且滿足正則對易關係。我們把正則對易關係發展為運算元的二元閉運算，即對易子。這種關係使我們聯想到經典力學的Poisson括弧中的類似關係。我們回顧了Poisson括弧的定義，以及用Poisson括弧表達的Hamilton方程。接著討論了經典力學中可觀測量隨時間演化的方式，它是Hamilton量和可觀測量的泊松括弧。這些關係，都給出了量子力學的類比。

本講關於經典力學的內容請參考

MP16：Hamilton力學

正則對易關係

位置算符和動量算符複合作用於量子態的結果是：

$PXpsi = -ihbar frac{d}{dx}(xpsi)$

$= -ihbar(psi + xfrac{dpsi}{dx})$

$= -ihbar(1 + xfrac{d}{dx})psi$

$= (-ihbar -ihbar xfrac{d}{dx})psi$

得到運算元方程：

$PX = -ihbar -ihbar xfrac{d}{dx}$

$= -ihbar + x(-ihbar frac{d}{dx})$

於是：

這個式子就是正則對易關係(canonical commutation relation)。所謂對易，數學上叫做交換。不對易就是非交換的：

這種通過

來度量偏離零的程度的方法，往往用來評估不對易的程度。我們將來要學到的Lie括弧與不對易性有重要的關係，今後會有更多的非交換/不對易的問題湧現，我們會在適當的時候引進相關的新知識。後面我們看到的對易子，也可以理解為不對易子。

對易子

這啟發我們把這種結構推廣到任意運算元。在量子力學中，量子態Hilbert空間上的線性運算元記為，那麼可觀測量之間可以建立二元運算：

稱為對易子(commutator)。

根據正則對易關係我們了解到，位置運算元和動量運算元不交換，即：

當它們複合作用於一個波函數時，複合的順序會影響映射的結果：

我們注意到運算元的特徵值就是，而通過適當的單位可以約去Plank常數，這樣特徵值變成，也就是說，作為運算元的對易子對波函數的映射，相當於讓波函數整體上在每個位置上都進行了的旋轉。其中的意義，將來有機會會詳細闡述。

Poisson括弧

對易子的結構讓我們聯想到經典Hamilton力學中的Poisson括弧。考慮相空間上對時間的微分運算元：

$frac{partial}{partial t} = sum_{k=1}^{n} Big( dot{q}^k frac{partial}{partial q^k} + dot{p}^k frac{partial}{partial p^k} Big)$

若有Hamilton量，則可以代入經典力學的Hamilton方程

$frac{partial H}{partial p^k} = dot{q}_k, frac{partial H}{partial q_k} =- dot{p}^k$

得到

$frac{partial}{partial t} = sum_{k=1}^{n} Big( frac{partial H}{partial p_k} frac{partial}{partial q^k} - frac{partial H}{partial q_k} frac{partial }{partial p^k} Big)$

令餘切叢上的光滑函數則可以構造二元運算：

${ F,G}= sum_{k=1}^{n} Big( frac{partial F}{partial q^k}frac{partial G}{partial p_k} - frac{partial F}{partial p^k} frac{partial G}{partial q_k} Big)$