3.1 簡單函數的積分(Integrals of simple functions)
目錄
第一章 Measure theory
1.1 Ring和Algebra
1.2 測度 & 外測度 & 測度的完備化
1.3 外測度的構造 & Lebesgue測度 & Lebesgue-Stieltjes測度
1.4 Metric Space &Metric Outer Measure
1.5 Lebesgue測度再討論
1.6 帶號測度(Signed Measure)& Hahn分解 & Jordan分解
第二章 可測函數(measurable function)
2.1 可測函數的定義
2.2 可測函數的性質
2.3 Egoroff定理和Lusin定理
2.4 依測度收斂
第三章 積分(integrals)
3.1 簡單函數的積分(integrals of simple function)
Section 1 簡單函數的積分
回憶一下2.2節簡單函數的定義:
函數 稱為簡單函數(simple function),如果存在有限個不相交的可測子集
和有限個實數
,使得
和
。
此時 可表示為:
,
是可測子集
的特徵函數。
注1:簡單函數的取值
注2:由定義容易知,簡單函數是可測的。,沒有要求兩兩不同。
定義1 (可積簡單函數在全空間 上的積分)
測度空間 上的簡單函數
稱為是可積的(integrable),如果當
時,有
。然後我們規定當
時,
。此時,定義
積分的值為
,將這個值記做
,或者
或者
,即是
。
注1:這個定義是定義在整個空間
上的,故
實際表示的是
。
注2:由上面定義知:這個定義即是要求積分是有限值,即
測試題:舉一個不可積分的簡單函數的例子(有限)
注意到簡單函數 可能有另外一種表示方式,比如
,我們來驗證積分這個定義是well-defined:即是驗證
在不同表示方式下的積分值是唯一的,即是驗證:
當
然後每個時,在交集
上
,此時記
![]()
可表示為不相交的
的並(畫個圖),即
則有
。同理也有
。(因為
是有限數,故雙重求和符號可以交換次序。)即是
![]()
命題1
在測度空間 中,
(a) 是簡單函數,
是可測集。則
也是簡單函數;
(b) 是簡單函數,且可積分;
是可測集。則
也可積分(隱含著也是簡單函數);
(a)需要利用1.1節文末習題1的結論:
![]()
是簡單函數,則
,其中
且
。那麼
。(b)(思路,要證
可積,即是證明
是有限的。)
故
是可積的。
定義2 (可積簡單函數在可測子集 上的積分)
測度空間 ,設
是可測子集。定義可積簡單函數
在
上的積分為:
,其中
且
。
命題2 特徵函數 可積,當且僅當,
是可測集且
。
"
"":
是簡單函數,若可積,則由定義隱含著(a)
是可測的;(b)
。而
。也就是
是可測的和
![]()
":若
是可測集且
。顯然有
,故特徵函數
可積。
定理1 (簡單函數的基本積分性質)
測度空間 ,設
是可積的簡單函數,
(1) 是可積的簡單函數,且
(2) 也是可積的簡單函數
(3) 是可積的簡單函數,且
(4) 如果 ,則
(5) 如果 ,則
(6)
(7) 設可測子集 滿足
,且在
上有
。則
(8) 如果 ,
,則
(9) 設 ,
且
,則
註:性質(9)表明 (看成是關於
的函數)是一個signed measure,因為有countably additive性質,且容易證
因為
(1)因為每一個是simple function。故設
,其中
且
是兩兩不相交、
也是兩兩不相交。
,故
(見1.1節文末習題1)。同理每一個
。注意到
都是兩兩不相交的。
因此
是simple fuction,然後我們計算其積分:
證畢。(2)
,故
是simple function。
而當
(3)時,
(因為
可積,定義要求當
時
)。因此
,即
可積。
在每個
上的取值是
,則
在
上的取值是
。因此
只取有限個值且空間分拆成有限個不相交的部分。故
是simple function且
。
是可積的,因為
時,
。
(4)由
推出:
時對應的
有
;
時對應的
有
。因此
(5)根據(1)和(2)(6)
可積,由(1)知
可積,再由
知
可積。由
及(5)有
(7)因為
。故
。又因為
,故
可積(由命題2),
也可積(由定理1的(2))。因此
(由定理1的(5)),即是
(由定義2)。證畢。(8)
等價於
。又
。故
再由(5)有
,即是
.(9)
,故
。因此
![]()
證畢。
Section 2 Cauchy in the mean
我們目的是定義更一般函數的積分,為此做準備,現在引入簡單函數序列 Cauchy in the mean的概念。
定義3 (Cauchy in the mean)
可積分的簡單函數序列 被稱為Cauchy sequence in the mean,如果滿足:
,
也即是:對任意 ,存在
,使得
時,有
此時記做 。
注1:就是定義了在"in mean"這種收斂方式下的柯西序列。
注2:不要忘記,定義中的積分是對全空間積分。
引理1
可積的簡單函數序列 若是Cauchy in mean,則:存在幾乎處處實值的可測函數
,使得
(思路:因為收斂函數
由2.4節S3的定理3知,不知道,所以我們證明
是Cauchy in measure即可)
等價於
。故我們只需驗證
:對任意
,令
,則
若
,則由
由性質(6)有(性質(6)要求
,
可積,需驗證):
,即是
而由性質(8)有
,因此
而又因為
若是Cauchy in mean,即是
時
因此,
時
,這就證明了
(驗證
,
可積:
是簡單函數且可積,則由性質(1)
可積且簡單,再由性質(3)
可積且簡單。若
可積,則由性質(2)
可積。而
可積,由命題2知,等價於
可測且
。因為
簡單,所以
,所以
因而
(有限求和!因為
不超過
個)。而又
可積,故 對任意
有
,故
。這就證明了
![]()
習題
1 測度空間 。設
是簡單函數,證明:
幾乎處處為0,當且僅當,對任意的可測集
,有
"
是簡單函數,設
取值為
,
![]()
":
,則對
。那麼對任意可測集
,
"
":反證法。假設
不是幾乎處處為
。因為
是簡單函數只取有限個值,那麼就存在
且
或
且
。不妨設是在
且
。那麼取
,
在
上的積分為
。這與假設矛盾,故
幾乎處處為0
1 如果 是非負、可積的簡單函數,且
,證明
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