既然規範對稱性不是一個對稱性只是一個redundancy，那我們該怎麼去理解標準模型裡面的電弱破缺呢？

在量子場論里說gauge symmetry就是一個redundancy，是我們理論描述的時候選擇了一些多餘的自由度，因此我們就需要gauge symmetry。另外在文小剛的書上直接說gauge symmetry不是一個對稱性，不可能被破缺。這樣看起來好像和標準模型裡面的電弱破缺矛盾了，所以應該怎麼去理解這件事情。

我認同樓上李梅亭的觀點，但不清我的觀點是否與其一致，因為我看的出他是粒子物理場論出生，我粒子物理場論讀的書較少，文小剛的書上QGT的理解我是完全贊同的，不贊同的話，他那本書後面PSG又怎麼能去理解呢？我從文小剛的書的角度出發，我自身的理解是之所以物理對稱性和規範對稱性很容易造成混淆的原因在於，無論真實的對稱性（對應樓上這裡的整體對稱性）還是規範對稱性（對應局域規範對稱性）數學上總是需要一個使H不變的群操作來刻畫。整體的對稱性總能對應於使H不變的物理對稱群，但是規範冗餘自由度的的不變群卻是人為的，最直接的構建方法就是將其與某一整體對稱性對應的對稱群聯繫起來（我不知道是否這是唯一的途徑，但是這肯定是最自然和直接的途徑，文小剛書上也確實是這樣來引入規範操作的），因而正如李答主所言：規範結構總是與某一整體對稱性相聯繫。接下去就是兩個截然不同的地方在於，冗餘自由度的非物理性要求被這個群操作聯繫的兩個態一定是相同的態，所以要做本來兩種不同的物理態（被整體對稱操作聯繫的）的認同就會導致一個規範結構的產生。然後整體對稱性的破缺，會導致某一類的規範操作失效，規範群縮小到一個子群上，因而給出了一個「限制的規範」從而讓人覺得好像規範結構也被破缺了一般，實際上規範結構根本不會自發破缺。最後用文小剛書上的話總結：When the same thing has the same properties, We do not say that there is a symmetry. Gauge symmetry is not a symmetry and never be broken.

其他的其他幾位答主說的很精彩，我稍微補充一點：為什麼局域的規範對稱性會引入聯絡（矢勢A）以及規範是如何獲得質量的問題。

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就像拉格朗日量和拉氏密度一樣，局部並不能準確的描述整體。放到規範對稱性上，存在整體的對稱性（這時候對稱操作在時空中任意一點都相同，並不依賴於坐標），但是就像U1規範場的矢勢A有相當的任意性，你可以選擇朗道規範、洛倫茲規範等等。不同時空點的對稱變換可以是不同的，因此需要將不同的局域規範對稱性放到一個規範下才能定義時空導數，而這個過程需要定義聯絡，這樣定域的規範對稱很自然的就會引入規範場（協變導數）。說的更直白一點：拉氏密度在規範變換下是不變的，但是並不意味著在局域規範變換下也是不變的。

以狄拉克場為例：

在global phase transformation下：

是不變的，但是在局域規範變換下：

的結果為：

因此為了得到規範不變的拉格朗日量，重新定義拉格朗日量：

其中

這樣很自然的就會引入與聯絡對應的規範場。比如QED中的U1規範場和電子（費米子）。當然這是一種分析過程。更簡單的理解依然是局域規範需要通過聯絡，才能比較兩個場點，這樣會定義對應的協變導數。

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再看下自發對稱破缺+希格斯機制中，規範場還是存在的，這也意味著局域規範對稱性是保持的（不同的規範可以通過一個李群變換聯繫起來），只是拉格朗日量整體的規範對稱性由於場在真空的期望非0，以及量子場論不選取簡併態的線性疊加作為基態，從而導致拉氏密度的規範對稱性在選取特定基態之後破缺（在基態周圍做微擾得到的新拉氏密度不具有整體規範對稱性）。但是由於局域規範對稱性，規範場依然存在，而為了消除戈德斯通玻色子（破缺產生的無質量玻色子），需要固定規範場的規範，使得對應戈德斯通玻色子的場不出現在拉氏密度當中。在這個過程中規範場也會的方程也會發生變化，這樣他說表現的物理也會改變。如超導中因為玻色凝聚導致的U1破缺，會使得光子的麥克斯韋方程發生變化，從而表現出邁斯納效應。

以復標量場破缺U1為例(等價於破缺SO2，兩實標量場可以表示為一個復標量場)：

拉格朗日量：

該拉格朗日量在 global U1對稱變換下

不變。按照外爾的驚人推斷：the global invariance should hold locally! 因此需要引入U1規範場

當然你可以檢驗在局域U1變換下拉格朗日量是不變的。

下面，因為特殊的勢形式使得復標量場的實部真空期望非0(為 )，因此在該位置引入微擾後的復標量場為：

替換後的拉格朗日量為：

其中

意味著場和場可以通過該頂點彼此轉化。而我們知道規範存在多餘的自由度，如果我們固定規範：

公式1

可以完全把從拉格朗日量中拿掉（場完全吸收進場）。而為了獲得上面的結果等價於我們對費米子場做了如下變換：

這樣也會發生相應的變化，如公式1所示。在把復標量場的相位部分吸收進規範場時，復標量場的相位的自由度也被吸收進規範場。固定規範後的結果

從上面的拉氏密度可以得到以下幾點信息：

1、場消失（原本場不存在場的平方項，即不存在質量）。

2、場存在平方項，存在質量 .(質量由 $-frac{1}{2}m^2phi^2$ 描述，對應的粒子具有質量m)

3、項的存在意味著體系存在矢量玻色子粒子並且有質量

5、自由度分析：在自發破缺之前，復標量場存在兩個自由度，U1規範場存在兩個偏振自由度，總共四個自由度。自發破缺之後，場有一個自由度對應復標量的振幅部分。而我們知道兩個自由度的光子是不可能有質量，而復標量場的相位部分被吸收進規範場中，規範玻色子獲得三個自由度，並且獲得質量。

參考文獻：

某老師的notes。

ps：感謝 @Hui Yang 的指正，這裡確實寫錯了，SO2和U1是等價的，只是把兩個實標量場表達為二自由度的復標量場。而且SO2和U1都只有一個生成元，就算將SO2變成U1也不會產生戈德斯通玻色子。

局域的規範對稱性破缺不會產生戈德斯通玻色子，只有整體的規範對稱性破缺才會。局域規範對稱性只是保證了規範聯絡的出現。而固定規範的時候，其實是用到了局域規範之間，規範變換的冗餘自由度。

ps2：最近也只是對這方面感興趣，學的還不是很好，所有多少會有錯誤的地方，歡迎各位大佬多多指正。

我覺得兩個語境其實是不一樣的。

我們所說的gauge symmetry broken其實是因為我們在操作作用量的場算符時給它做了本身gauge group 所不允許的變換（或者換句話說，我們選取了一個不平凡的真空態）。所以才導致gauge symmetry的broken。

舉個例子，比如我們隨意給場算符一個作用量泛函使得它在gauge group 的作用下保持不變（ )，這時候我們如果我們做個平移 $phi ightarrowphi+phi_{0}$ 並且令新的作用量 $S_{eff}[phi]=S[phi+phi_{0}]$ （即重新選取了一個不平凡的真空態），很容易發現 $S_{eff}[gphi]$ 是不一定等於 $S_{eff}[phi]$ 的，如果不等那麼這時候在該真空態下gauge group 就會破缺到其的一個子群。

然後再回去看Wen的書，其實Wen所指的gauge symmetry不可能破壞其實是指如果你不去變換真空態的情況下。（其實後面Wen也說明了，Gauge Symmetry和Gauge Symmetry Broken是很容易引起混淆的）而本身Higgs Mechanism的Broken則是已經把vacuum state變到了另一個non-trivial的態了，而本身這個vacuum state的變換就不是原本的vacuum state的gauge group 所能變換得到的（如果能變得過去那也不會broken了= =）

謝邀。 @Yui Yoshioka

這個也是我最早接觸規範場論時的一個困惑。很多時候這種困惑來自於名詞的不恰當使用。個人理解如下。

我們一般所說的規範對稱性，包含整體規範對稱性和局域規範對稱性。前者是一個真正意義上的對稱性，伴隨著守恆流（例如電荷守恆流來自於費米場或者復標量場的整體U(1)對稱性），具有物理意義。局域規範對稱性才是所謂的冗餘自由度，不是真正的對稱性，但物理學家仍使用「對稱性」這個叫法。（最新的研究似乎表明存在一類所謂的大規範變化，large gauge transformation，這個變換可能是真正的對稱性。但我們先不管這個，因為它實際上跟題主的問題無關。）

我們可以在一個理論上只有整體規範對稱性而不必有局域規範對稱性，即理論在不依賴時空點的內空間整體轉動下保持不變，但在依賴時空點的內空間局域轉動下不會保持不變。這時理論沒有規範勢（也就是所謂的聯絡）。這種情況一般只稱這種對稱性為整體對稱性（global symmetry），而把規範對稱性（gauge symmetry）這個名詞留給專指既有整體又有局域的對稱性。

任何整體對稱性都可以理論地規範化（gauged），你只需要引入相應的規範勢就行。但要不要規範化一個整體對稱性不是理論家的選擇，而是自然的選擇。

自發破缺可以發生在整體對稱性上也可以發生在規範對稱性上（注意我們現在已經使用默認叫法，即既有整體對稱性又有局域對稱性）。當只有整體對稱性，我們會得到無質量的goldstone玻色子。在有局域規範對稱性時，自發破缺的仍然是整體規範對稱性，但這時理論會有規範勢，goldstone玻色子會被規範玻色子吃掉，規範玻色子獲得質量，構成Higgs機制。

總結一下，我們從來都沒有去自發破缺冗餘自由度，我們破缺的是整體規範真·對稱性，但局域規範假·對稱性保證了規範勢的存在，這才是Higgs機制最有趣的地方。

補充幾個只有整體對稱性而沒有局域規範對稱性的例子。

1，標準模型下會有重子數（B）及輕子數(L)守恆（除去量子反常），分別對應兩個整體U(1)對稱性，並沒有額外的規範場！即使考慮量子反常，我們也有嚴格的B-L的整體對稱性。順便提一下，標準模型的實際對稱性比SU(3)×SU(2)×U(1)要多，多出來的一般叫accidental symmetry。

2，Peccei-Quinn 是一個整體U(1)對稱性，自發對稱破缺，產生無質量goldstone玻色子，叫軸子（axion）。（由於量子反常，PQ對稱性有輕微明顯破壞，使得軸子具有很小的質量，這種情況下稱其為pesudo-goldstone玻色子。）

3，一大類複合Higgs模型，Higgs作為pesudo-goldstone玻色子存在，破缺的對稱性也只有整體對稱性。

再補充一下，似乎有人會糾結對稱性到底會不會破壞這個話題。除非理論原本就沒有這個對稱性（包括量子反常引起的明顯破壞），否則原本存在的對稱性不可能真正意義上的被破壞，自發對稱破缺只是一個叫法而已，它是指原來的某些對稱性被隱藏起來了，也就是所謂的對稱性被非線性實現。如果你在對稱變換的過程把真空態也跟著一起變換，對稱性當然還在那裡。

因為破缺的是整體（規範）對稱性，不是真正的（局域）規範對稱性。如題主所說，規範結構是理論構造中的冗餘結構。最簡單的例子是規範變換，它不改變矢勢、只給標勢增加一個常數，這是大家在初中就學過的「勢能零點的選取」，顯然不可能帶來任何物理上的區別。破缺掉這樣一個「對稱性」，可能更應該被稱為對規範條件的限制。

而Higgs機制中的自發對稱破缺，破缺的顯然也不是這個「勢能零點選取」的對稱性，而是整體（規範）對稱性。規範結構的破缺是與之相伴的一個現象。這一現象的根源，是著名的Elitzur定理，即只有規範不變數的真空期望才能取非零值。這個定理在直觀上是很好理解的，因為由規範對稱性聯繫的兩個態本質上是同一個物理狀態。與此同時，由於規範結構總是和一個整體對稱性（比如對稱性和相應的規範對稱性）相聯繫，這使得整體對稱性的破缺必定對應於某個規範不變數的非零真空期望值。為了研究這個真空期望值，我們便必須用某種方法「限制規範」，這就使得Higgs相的有效理論只能配備一個縮小的規範群。具體來說，我們將場算符分解為，其中規範變換全部由承擔（其中規範群），那麼剩下的規範不變因子就可以有非零真空期望值。如果我們進一步假設子規範群元素不改變這一真空期望值，那麼便有新的規範結構 $Omega oOmega h^{-1}, psi o hpsi$ 。

總而言之，規範結構的破缺來自於整體對稱性的破缺，本身並不是一個自發對稱破缺。

至於整體（規範）對稱性，則確實是真實的對稱性。實際上，在規範場耦合之外，我們確實可以加入破缺整體對稱性的項，因而整體對稱性也確實有物理意義。舉個簡單的例子，考慮0維自由玻色子，也就是簡諧振子。此時對稱性混合位置和動量算符。如果加入破缺這一整體對稱性的項，則相當於改變了原先簡諧振子的平衡位置，新基態等價於原基態平移。而此時變換將變為，平衡位置就又變回來了，只改變一個相位因子。這個物理和是不是加入規範場耦合併沒有關係。

規範對稱性作為一種理論冗餘，當我們要求其存在時將會對理論的形式提出限制。最典型的例子就是我們要求規範波色子、以及宇稱破壞的費米子場無質量。

通過破缺掉規範對稱性，我們可以解除這些限制，從而給相應的粒子賦予質量。這就是著名的Higgs機制。

這種對稱性被破缺之後會產生有質量（依賴於規範選取）的Goldstone場，這個場同規範場的縱向分量、鬼場等共同保證了理論的可重整性和幺正性。

而對於通常的全局對稱性，其存在會使相應的經典理論存在守恆流和守恆荷，量子化後存在Ward恆等式。

將這類對稱性破缺掉之後，相應的守恆量不再存在，同時原本的物質場相應的自由度將轉化為無質量的Goldstone場。

從而局域規範對稱性和全局對稱性的破缺實際上指的是不同的兩件事。而且，不論是哪種破缺，實際上對稱性依舊是藏在理論之中的——全局對稱性藏在無質量的Goldstone粒子之中，而規範對稱性體現在破缺之後我們依舊能自由選擇規範。這種藏起來的對稱性依舊會對理論中的參數給出限制。

沒讀過文小剛的那本書，不清楚他是在怎樣的語境下討論這件事的。

【明天就要考規範場了感覺好虛...

我不確定下面這個理解是否正確，說錯了請指正：

可能雙方對「規範對稱性」定義不一樣。

有的場合中，無窮維的「規範變換群」是指代在無窮遠處為恆等元的那些規範變換，即這些變換不改變「物質場在無窮遠處的真空期望值」。這部分是規範對稱性「冗餘性」的核心，不會破缺。

（這裡說法有錯）那些在無窮遠處不為恆等元的規範變換可以分解為，其中是規範對稱群(即有限維李群)，。這個有時被稱為「規範變換的整體部分」，或者「整體規範變換」。這部分變換會改變無窮遠處的真空期望值，因此一旦選定不平凡真空，就會破缺到不變子群。https://www.zhihu.com/equation?tex=g_0g%28x%29