与 分别是波函数的坐标表象与动量表象，两者互为傅里叶变换：

在 已经归一化的前提下，如何证明 也是归一化的？即：

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直接硬算就可以解决了嘛（这里我用题主在题目中的符号约定写一下）：

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昨天睡觉想了下，还是有很多不妥之处，因为实际上 并不能看作一个简单的二重积分，因为即使 是一个闭区间的特征函数，这个积分都是发散的， 所以勒贝格积分是没法用的，用黎曼积分的话无限区域二重积分貌似也没有好的定义。

这个只能看作累次积分 ，且顺序还不可交换，但是

是可以看作二重积分的，且对 的积分次序可换。

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设 ，在 处连续，且其傅立叶变换仍有

令 ，由 ，且 有

若有 ，由于它在 处连续，对于 ，存在 ，使得 时 ，从而

由于 是任取的，只能有 。

对于 只需令

由 有

最后补充一下，一般来说 函数普通的傅立叶变换是发散的，得做广义傅立叶变换，对于速降函数，显然它和它的傅立叶变换都是 ，而且都处处光滑了，连续性肯定没问题。

那么根据上面的论证对于速降函数 肯定能保证 范数的不变性，然后利用 作为Hilbert空间，对偶空间与原空间范数相等， 以及 在中稠密，就有：

这就可推出广义傅立叶变换在 中的幺正性和封闭性，更详细的就空白太小写不下了，溜了~~~

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赞同另外的大佬，尽可能补充一点。

通过定义和计算，你应该可以对表象概念有一个更好的理解，就是说不同的表象只是态矢量所选择的基矢系，表象之间的变换只是基矢系发生了转动，而对态矢量的归一没有影响，当然这里的转动并不是三维空间中转动而是闵氏空间里的转动。

这里我们也可以看到，我们是不是也可以这样来理解，为了描述一个粒子满足不确定关系的，就要用动量和坐标张成的态矢量空间来描述？同样的道理，也提出了相应的薛定谔绘景(picture)，海森堡绘景，狄拉克绘景，他们之间的关系也是数学空间上的旋转，这样来描述粒子的时间和能量的不确定性关系？

当然，我们不禁发现在能量-时间这一关系中，还有这个相互作用绘景(狄拉克绘景)，不得不说这可能是由于4矢量中时间的特殊性，t带著一个虚数，这导致了爱因斯坦的E=mc^2，同时也预示著量子场论的必然出现。毕竟闵氏空间是3+1维不是单纯的4维。

上面许多都是参考和添油加醋，希望对你的理解有帮助。

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本质都是态的模长为1，只是分别用两组基展开，波函数就是态在某个表象下的投影,这里应该也不需要用到动量本征态和位置本征态的内积..

用所谓」单纯的微积分证明"的话。。

是一件既没有意义又颇费功夫的事啊

此外&，也就是题主的psi(p,x)的求出需要用到坐标表象的动量算符，如果不用正则量子化这个"公理化"的思路的话，这个算符也需要用到态去计算，所以我才认为开始已经回答了题主的问题。态是比坐标表象本质的东西。

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