【IIR系统】

一. 基础结构与特性方程：IIR系统也被称为无限冲激响应系统。那么什么叫无限冲激相应呢？字面意思，即冲激响应的point数为∞。假设，我们有一个冲激响应函数h[n]，

采用FIR同样的方法（卷积和）去构建滤波器的话会变为，

即我们将采用无穷多个乘法器，这个在现实中是绝对不可能实现的结构。那怎么办呢？z变换可以解决这个问题。使用z变换，我们可以把无限长冲激响应转换到复频率得到传递函数H(z),

带入Y(z)=H(z)X(z)中后，通过逆z变换我们就可得到输入与输出之间的关系式：y[n] = x[n] + a*y[n-1]这个其实就是一个最简单的IIR系统（无限冲激响应系统）。若我们将一个更复杂的线性时不变系统的差分方程代入，上式则变为，

系统结构图如下图所示，我们称这个系统为递归型系统。

通过z变换以及DTFT，我们可以得到这个系统的频率特性方程：

b[m]被称作分子系数，a[n]被称作分母系数。这两个系数就是Matlab中设计一个IIR滤波器时返回的两个值。以上是我们采用两个不同的例子所计算得到的IIR系统。实际上，根据采用的差分方程的不同，我们计算所得到的传递函数以及特性方程也会不同。因此就产生了几个经典的IIR滤波器：如巴特沃斯滤波器，切比雪夫滤波器，椭圆滤波器等。二. 理解分析：

**稳定性：**

首先需要注意的是，递归型的IIR系统，在输入信号的最大值为常数时，有时会导致输出信号的最大值不为常数，使系统处于非稳定状态（不符合BIBO稳定性定律）。因此我们需要在计算出系数a，b后对整个数字系统的稳定性进行判断，这时候就要用上极点和零点了。极点：IIR系统频率特性方程中分子为0时的解零点：IIR系统频率特性方程中母为0时的解通过对极点与零点的分析我们可以计算出给定传递函数系数a与b后，数字系统的稳定性。**全通特性：**IIR系统最大的优点就是具备完美的全通特性（上文写的是全域通过特性，直接翻译的日语，没想起来查国内网站）当M=N，并且b[n]=a[N-n]时，特性方程即可变为，频率特性：

幅频特性：

相频特性：

不难看出，频率特性为常数1。这就使得我们滤波前后波形的频率成分会完全保留，只有相位会改变。通常会用来处理一些对相位要求不高的音频信号。

**与FIR系统的关系:**

返回到上一节我们得到的频率特性方程，

会不会看著有点儿眼熟？下面这个是FIR系统的频率特性方程，

发现没有，其实FIR系统的频率特性方程，和IIR系统频率特性方程的分子和分母都是一样的。即当IIR系统的分母为1时，就是IIR系统就变成了FIR系统。通过结构图我们其实也可以看出来。

IIR系统其实就是让输入信号先经过FIR系统进行一次滤波，然后对一次滤波后的结果再进行二次滤波，再反馈回来。扯了那么多乱七八糟的公式，其实结构就这么简单。。。

文字不大懂的话可以看下面这个示意图，可以和上方的结构图结合起来一起研究。

**零相位滤波：**IIR系统的优缺点上一章已经提到了。IIR系统，可以提供完美的全通特性，但是只能近似的实现线性相位特性，从而导致信号失真。为了解决信号失真的问题，Matlab里面有一个神奇的函数filtfilt，实现方法其实很简单：
  1. 使用IIR滤波器对原始信号x(n)进行滤波得到y(n)
  2. 把滤波后信号反转求逆得到y(n)
  3. 使用IIR滤波器对y(n)进行滤波得到信号y2(n)，这一步就把第一次滤波所产生的相位失真完美补偿了
  4. 把y2(n)反转求逆得到y2(n)，即零相位滤波后信号

非常有意思的方法，下面会有模拟验证。

缺点也很明显就是无法在online系统中应用，不过就研究来说足够了。

三. 模拟验证：

主要采用巴特沃斯滤波器，进行数据验证。与FIR系统相同，我们首先建立一个原始波形。
  1. 采样频率1000Hz10Hz,20
  2. 1-1500 point: 10Hz, 20Hz, 30Hz的混合波（30Hz为噪音）
  3. 1501-2500 point: 10Hz, 20Hz混合波（无噪音）

** 巴特沃斯滤波器：**设计1个低通巴特沃斯滤波器，5阶，25Hz低通滤波器幅频与相频特性如下

结果：
  1. 产生了群延迟，由于IIR系统的非线性相位特性，因此数值无法计算
  2. 1-1500 point之间的滤波后数据产生了较大的失真，20Hz数据几乎完全失真
  3. 30Hz数据还有所残留，提升滤波器阶数可消除

** 零相位巴特沃斯滤波器：**采用上述巴特沃斯滤波器系数，观察零相位器滤波结果
  1. 群延迟被完美的消除了
  2. 20Hz波形还是有些许失真存在

四. 感想IIR滤波器由于他的低成本低运算量，在数据处理领域也被广泛应用，至于说与FIR滤波器哪个好，就要看各位应用在什么领域了。比如在生物神经领域，需要较高的零相位特性，因此广泛应用著零相位巴特沃斯滤波器。但是我们如何设计一个最合适的滤波器呢，随著阶数的增加，信号延迟，以及收敛时间都会增大，那么到底几阶的才好呢？下一章主要讨论如何设计一个最合适的滤波器，最适化演算法。

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