线性二阶偏微分方程的分类

线性的二阶偏微分方程的一般形式为：

$aphi_{xx}+bphi_{xy}+cphi_{yy}+dphi_{x}+ephi_{y}+fphi=g(x,y)\ ag{0}$ 其中参数仅仅是x,y的函数。

作非奇异的坐标变换，引入新坐标：

$xi=xi(x,y)\eta=eta(x,y)\$

$aphi_{xx}=afrac{partial phi_x}{partial xi }frac{partial xi}{partial x}+afrac{partial phi_x}{partial eta }frac{partial eta}{partial x}\=afrac{partial }{partial xi}(frac{partial phi}{partial xi }xi_x+frac{partial phi}{partial eta }eta_x)xi_x+afrac{partial }{partial eta}(frac{partial phi}{partial xi }xi_x+frac{partial phi}{partial eta }eta_x)eta_x\ =axi_x^2phi_{xixi}+2axi_xeta_xphi_{xieta}+aeta_x^2phi_{etaeta}\ ag{1}$

$bphi_{xy}=bfrac{partial phi_y}{partial xi}xi_x+bfrac{partial phi_y}{partial eta}eta_x\=bxi_xfrac{partial}{partial xi}(frac{partial phi}{partial xi }xi_y+frac{partial phi}{partial eta }eta_y)+beta_xfrac{partial}{partial eta}(frac{partial phi}{partial xi }xi_y+frac{partial phi}{partial eta }eta_y)\=bxi_xxi_yphi_{xixi}+bxi_xeta_yphi_{xieta}+beta_xxi_yphi_{xieta}+beta_xeta_yphi_{etaeta}\ ag{2}$

由和的对称性：

$cphi_{yy}=ceta_y^2phi_{etaeta}+2ceta_xxi_xphi_{xieta}+cxi_y^2phi_{xixi}\ ag{3}$

整理出如下的方程：

$Aphi_{xixi}+Bphi_{xieta}+Cphi_{etaeta}+Dphi_{xi}+Ephi_{eta}+Fphi=g(xi,eta)\$

$A=axi_x^2+bxi_xxi_y+cxi_y^2\ ag{4}$

$B=2axi_xeta_x+b(xi_xeta_y+xi_yeta_x)+2cxi_yeta_y\ ag{5}$

$C=aeta_x^2+beta_xeta_y+ceta_y^2\ ag{6}$

则有：

$B^2-4AC=(2axi_xeta_x+b(xi_xeta_y+xi_yeta_x)+2cxi_yeta_y)^2\-4(axi_x^2+bxi_xxi_y+cxi_y^2)(aeta_x^2+beta_xeta_y+ceta_y^2)\=(b^2-4ac)(xi_xeta_y-xi_yeta_x)^2=J^2(b^2-4ac)$

其中为坐标变换的雅可比行列式的值。

雅可比行列式的表达为：

$left|egin{array}{cccc} frac{partial(xi,eta)}{partial(x,y)} end{array} ight| =left|egin{array}{cccc} xi_x&xi_y\eta_x&eta_y end{array} ight| \$

可见只要 ,坐标变换前或者变换后的的符号不会发生改变，可以通过其符号区分方程。

下面讨论方程的分类与简化。

可以看到A，C具有相同的形式，用变数z来替代，则得到如下的函数：

$f=az_x^2+bz_xz_y+cz_y^2\$

当 ,我们能够使得变换后的方程中的系数A或者C为0，这将大大降低方程的复杂度。

考查方程的根：

$az_x^2+bz_xz_y+cz_y^2=0\a(-frac{z_x}{z_y})^2-b(-frac{z_x}{z_y})+c=0\ ag{7}$

方程(7)包含两个未知数x,y，是很难求解的。我们先假设是一个常数。即x和y不是独立的变数而是相关联的量，这样我们就能够找到方程（7）的特解。

如果为常数：

$z(x,y)=const\ ag{8}$

则有 : $dz=z_xdx+z_ydy=0\ -frac{z_x}{z_y}=frac{dy}{dx}\ ag{9}$

则方程化为：

$a(frac{dy}{dx})^2-bfrac{dy}{dx}+c=0\ ag{10}$

讨论：

此时方程(0)为双曲型方程，说明方程(10)有两个根：

$frac{dy}{dx}=frac{bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}\ ag{11}$

积分得到了两组直线：

$xi(x,y)-c_1=0\eta(x,y)-c_2=0\ ag{12}$

其中为任意常量。我们把这样的直线称为方程(0)的特征线。（这样的坐标变换将平面方程（0）变成了两条直线上的方程，偏微分方程会变成常微分方程，进而找到方程（0）的一组特解。）

如果我们让动起来，即解除x和y之间关联关系，让它们相互独立，取：

$xi=xi(x,y)\eta=eta(x,y)\ ag{13}$

那么式（13）也必定满方程（7）。（ps：由此我们找到了一种特殊的坐标变换，使得变换后的方程满足A=C=0，当然这不是方程（7）的全部解。）

显然此时的 ,都是平面下的一条直线， $-frac{xi_x}{xi_y}和-frac{eta_x}{eta_y}$ 必然都是常数，且满足式（11）。

新坐标系下的方程可以被简化为:

$phi_{xieta}=-frac{1}{B}(Dphi_{xi}+Ephi_{eta}+Fphi-g)\ ag{14}$

这个方程还可以被继续简化：

引入：

$alpha=frac{xi+eta}{2}\ eta=frac{xi-eta}{2}\ ag{15}$

$phi_{alphaalpha}-phi_{etaeta}=-frac{2}{B}[(D+E)phi_{alpha}+(D-E)phi_{eta}+2Fphi-2g]\ ag{16}$

此时方程(0)为抛物型方程，说明方程(10)有1个根：

$frac{dy}{dx}=-frac{b}{a}\ ag{17}$

积分得到：

$sqrt{a}y-sqrt{c}x=c_1=const\ ag{18}$

取其如下的坐标变换：

$xi=xi(x,y)=sqrt{a}y-sqrt{c}x\ ag{19}$

那么有A=0。式（19）为方程（7）的一组特解。

将式（19)带入式（5）：

$B=2axi_xeta_x+b(xi_xeta_y+xi_yeta_x)+2cxi_yeta_y \=-2asqrt{c}eta_x+b(-sqrt{c}eta_y+sqrt{a}eta_x)+2csqrt{a}eta_y\=(-2asqrt{c}+bsqrt{a})eta_x+(-bsqrt{c}+2csqrt{a})eta_y=0\ ag{20}$