纤维上可通过水蒸气凝结等方式产生一个个结节状的小液滴，这个小液滴的界面轮廓跟液体的表面张力有很大的关系。下面我们分析一下其轮廓方程。

假设纤维的接触角为零，则液滴在纤维上的轮廓可以表示为下图：

图a，液滴表面的轮廓的几何关系，图b，多个液滴都在纤维上的示意图

如图a所示，假设液滴很小，不用考虑重力，那么在表面张力作用下，液滴表面具有相同的表面曲率。即液面的Laplace方程满足：

公式1

下面就是通过曲面曲率分析去求出这个具体的方程了。

上图a中，在A点的两个曲率R1和R2分别是AM和AN。其中，M点是A的平面内曲率中心，N是垂直于平面的曲率中心。其中AN是一直为正的，因为曲率中心都在中心线x轴上。AM依据界面的曲率中心的位置可正可负。如A『点，AN』就为负值。

上图中的s是从左到右的曲线坐标，θ是界面法线与竖直方向的夹角。则R1和R2有如下关系：

代入公式1，即可得到如下方程：

公式2

对于曲线z(x), 有如下关系：

可以推出如下关系：

公式3

进一步推论可以得到：

公式4

由于

公式5

可以得到：

公式6

公式6

把上面公式3-6带入可得曲面轮廓方程为：

公式7

公式7就是自由液面下，曲率处处相等的界面方程。对于二维的泡沫结构，曲率处处相等意味著泡沫的每条边都为圆弧形。而对于三维的液滴形貌，维持其内部压强相等的条件是液面的曲率处处相等。由于曲率有两个值，其不一定相等，所以不是球形。其曲面必须满足公式7中的方程。

公式7中的方程可以通过数学上积分去解。

但是，也可以通过对物理过程受力分析直接得到这个方程的解。

在x方向上，作用在一部分上液滴上的合力应该是为零的，比如图1a中阴影部分x轴上的合力应该是为零的。

对外轮廓毛细作用力进行积分，为：

拉普拉斯附加压强的作用力积分为：

纤维对液滴的作用力为：

三个力相加之和为0，既可以得出关系式为：

当z=L，且dz/dx=0，液滴有著最大的半径，代入上式可以得到：

即，对于一个大液滴，液滴的内部的附加压力等于：

由于b远远小于L，这时，液滴的附加压力相当于一个半径为L的球形液滴的附加压力。

参考：De Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2013).Capillarity and wetting phenomena: drops, bubbles, pearls, waves. Springer Science & Business Media.


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