二維陳絕緣體(2D Chern Insulator)：Qi-Wu-Zhang（QWZ）模型

承前啟後的一段話：

Yadun：一維格子中adiabatic pumping和Berry Phase之間的關係?

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前面一篇文章說我們可以周期性調節參數從而pump粒子，一個周期pump的粒子數目恰好就是Chern number。一維體系儘管簡單好分析中我們要弄出一個Edge state或者pump初看起來相當麻煩，要周期性的調節系統的參數比方說SSH，Rice-Mele模型中的胞間hopping幅度，實驗上實現起來也相較困難。然而到了二維體系，很多東西就變得簡單起來，因為相較於一維，二維體系多了個分量，而且如果體系可以適用平移對稱性，這還是個周期的分量。這個分量可以用於等價我們一維問題中引入的 ,這背後的數學涉及到維度拓展和約化(dimensional extension/reduction)，是拓撲分類[1]中的關鍵工具。進入二維體系的世界中，可以簡單想一下，二維體系+拓撲邊緣態最著名的例子就是量子霍爾效應(Quantum Hall Effect)家族: QIHE, QAHE, QSHE。這一類具有非0Chern number的2D band insultator我們也稱之為Chern Insulator。

本文主要介紹祁曉亮，吳詠時，張首晟06年提出的QWZ 模型[2]，這是描述量子自旋霍爾效應(QSHE)中的Bernevig-Hughes-Zhang （BHZ）模型的基石，也被稱之為"Half BHZ"模型。我會介紹這個模型的具體內容，如何在二維模型中做出邊緣態。

QWZ模型

$hat{H}(k_x,k_y)=sin k_x hat{sigma}_x+sin k_y hat{sigma}_y+[u+cos k_x+cos k_y]hat{sigma}_z=vec{d}(k_x,k_y)cdot vec{hat{sigma}}$

假設x,y方向都是無窮大，或者皆滿足周期性邊界條件（圓環面torus），k空間下這個模型看上去相當簡單，含時Rice mele模型中把替換為 ,然後做一個酉變換就可以得到。這樣我們可以看到體帶具有能帶 $E_{pm}(k_x,k_y)=pm|vec{d}(k_x,k_y)|=pmsqrt{sin^2k_x+sin^2 k_y+(u+cos k_x+cos k_y)^2}$

當的時候，我們可以發現偶然簡併（也就是文章配圖所展示的）。接下來一個重要的問題是看看這個模型在實空間中是怎樣的，並且通過取有限的粒子數，構造出有邊緣的系統。

k空間下的哈密頓總的為： $hat{H}_{tol}=sum_{k_x,k_y}|k_x,k_y anglelangle k_x,k_y|hat{H}(k_x,k_y)$ ，通過傅里葉變換： $|k_x,k_y angle=frac{1}{sqrt{N}}sum_{m_x,m_y}e^{i k_x m_x}e^{i k_y m_y}|m_x,m_y angle$ 回帶入 $hat{H}_{tol}$ 。中間利用將三角函數化為指數函數 $sin k=frac{e^{ik m}-e^{-ikm}}{2i};cos k=frac{e^{ik m}+e^{-ikm}}{2}$ ，狄拉克函數的定義 $frac{1}{N}sum_{k} e^{i(m_1+m_2)k}=delta(m_1,m_2)$ ,最後會得到實空間下的QWZ模型：

$hat{H}=sum_{m_x}^{N_x-1}sum_{m_y}^{N_y}left(|m_x+1,m_y anglelangle m_x,m_y|otimes frac{hat{sigma}_z+i hat{sigma}_x}{2}+h.c ight)\+sum_{m_x}^{N_x}sum_{m_y}^{N_y-1}left(|m_x,m_y+1 anglelangle m_x,m_y|otimes frac{hat{sigma}_z+i hat{sigma}_y}{2}+h.c ight)+usum_{m_x}^{N_x}sum_{m_y}^{N_y} |m_x,m_y anglelangle m_x,m_y|otimeshat{sigma}_z$