請問為什麼物理里很多分析都用哈密頓量來分析？物理思想是什麼？
有什麼物理意義，謝謝。
根據自己粗淺的理解來語無倫次一波，希望能起到拋磚引玉的效果：這是因為我們關心系統隨時間的演化過程。
經典力學中，我們有哈密頓正則方程：
其中p,q都是是系統的廣義坐標、廣義動量。可見只要知道哈密頓量，將其塞到上面的式子里，我們就可以得到系統的運動微分方程。在量子體系中也是如此。事實上，它可以輕易地過渡到量子力學中去，只要按如下規則將經典量替換成算符：
比如經典的方程經替換後變成海森堡方程：
通過求解海森堡方程就可以得到海森堡繪景算符隨時間的演化過程，這也要求我們知道系統的哈密頓量。從決定波函數演化的薛定諤方程也可以看出，哈密頓量與系統的時間演化息息相關：
總的來說，我們關心系統隨時間的演化，所以我們往往要用哈密頓量來分析。這是由我們將時空「切片」的方式決定的。我們將時空按照」等時面「一片一片地切開，每一個「切片」上都有一個相聯繫的狀態空間（經典力學是相空間，量子力學是希爾伯特空間），而哈密頓量生成了從一個切片變到另一個」切片「的操作（如時間演化算符 ）
當然也可以有其它的切片方式。在共形場論中，經常會用到「徑向量子化」方案，這種方案就是將時空按照到原點的距離不同來進行切片的，這時候dilatation operator就扮演著等時量子化中哈密頓量的角色。
還有在定態問題中也會用哈密頓量，這大概是此時它是守恆量，所以能量本徵值可以充當好量子數，從而可以用來標記希爾伯特空間基底吧。
我從分子動力學的角度寫一點感受。
首先對於一個粒子數守恆的質點系統，我們有Liouville定理：
即
花括弧代表經典泊松括弧。
由此，我們可以引入經典Liouville算符（這裡加了一個 只是為了容易跟量子力學對應，沒有特別的意思！）：
由此出發，我們可以討論系統隨時間的演化：
即已知系統初態，有了哈密頓量，就可以確定未來任意時刻的系統。算符
稱作經典傳播子。
而分子動力學模擬的演算法需要滿足時間反演對稱性、保辛性、長時間能量守恆等性質，只有這個方程中，經典傳播子對於微擾是穩定的，模擬的結果才具有上述性質。所以從經典傳播子出發，開發分子動力學演算法，才是正確道路，這就必須用哈密頓量。順帶一提，由此可以證明Velocity Verlet演算法具有保辛性，這就是目前常見的分子動力學模擬工作大都用Velocity Verlet演算法的原因。
量子力學的版本只需添上普朗克常數即可，可應用在化學反應問題中。談到這裡，我又回憶起了十幾年前的那個午後（BGM switched on），慵懶的陽光灑入化學樓某一間小教室。北師大來的邵久書老師眼裡含著神采，給我們講解量子Liouville方程。我對此十分陌生，特別是那往左邊作用的算符。課後向他提了一個弱智問題，他並沒有不耐煩，而是很高興的告訴我，可以在M. O. Scully的《量子光學》里找到答案。於是我就向我的酒肉朋友，借來一輛沒有閘的自行車，一路騎車到湖南路軍人俱樂部，買下了這本書。雖然後來也沒有再看。理論化學科研人員的日常，就是這麼平平無奇，且枯燥。
參考文獻
- A. Pérez, M. E. Tuckerman, and M. H. Müser, J. Chem. Phys. 130, 184105 (2009).
- M. E. Tuckerman, Statistical Mechanics, Oxford University Press (2010)
- Roman Korol, N. Bou-Rabee, Tom Miller III, J. Chem. Phys.151, 124103 (2019)
在相空間中對理論進行分析的方法稱為「哈密頓分析」，尤其適用於研究約束系統中的自由度問題。
因為在哈密頓系統中天然地要求將時空分解為時間和空間（當然哈密頓分析也可以協變地做，比如De Donder–Weyl theory），所以對於分析系統隨時間的演化存在天然的優勢；
另一方面由於我們都更習慣於 用 (cai) 拉氏量去描寫一個系統，所以在做勒讓德變換得到哈密頓量的時候，約束會被自然地暴露出來，換句話說，就是從位形空間過渡到相空間之後，約束會明顯地出現；
絕大部分物理系統都是約束系統，例如U(1)規範理論和廣義相對論，所以用哈密頓分析處理起來會更加地方便。
物理學基本上在做兩件事，一是找到描述體系的方法。另一個是描述體系如何變化。哈密頓量是時間演化的生成元，也就是知道了哈密頓量就知道系統如何演化，所以哈密頓量非常重要。而哈密頓量的本徵值代表能量，所以能譜分析也是物理實驗中非常重要的方法。
科學是矢量的！標量求導不出矢量結果，只能求導矢量過程。
大自然在干任何事情時都要算成本，它總是找某種成本最小的行為方式。這一思想用在物理中就是哈密頓原理，其衡量的成本就作用量，它是一個叫拉格朗日的函數的路徑積分，即一個泛函，求其極值，即變分得拉氏方程，但是該方程是二階的，哈密頓引入一個變換，得到一個新一階方程組，其中的核心即哈密頓量！也即，所有物理問題的成本計算依賴於它！
推薦閱讀：
