固體物理中，倒空間和動量空間（k空間）是一個概念嗎？

感謝李老師的邀請，一直很忙碌沒有空答題。

我最早接觸倒易空間的概念是在學習X射線晶體衍射學。由於相位信息的丟失，我們通常只能採集到強度圖樣，立體的空間結構信息丟失了。而X射線晶體學是第一個在實驗上用以處理相位恢復問題的學科，其名噪一時的DNA雙螺旋結構的發現（沃森和克里克，1953）也同樣可以看作是一種特殊的相位恢復問題。事實上，鑒於我們事先可以比較容易獲取大量的立體化學先驗知識，晶體衍射相位恢復問題要比一般的相位問題較容易處理和求解，這也是DNA雙螺旋結構能夠直接通過觀察衍射圖樣進行推斷的原因。

對於更一般的物體，比如非晶體、非周期物體，則需要涉及到一些相位恢復的演算法。對相位恢復感興趣，可以看我今年7、8月份即將在《Reports on Progress in Physics》上刊登的文章裡面會涉及一大部分，題目是「High-resolution and large field-of-view Fourier ptychographic microscopy and its applications in biomedicine」。

回到倒易空間（reciprocal space）上來，在1934年，帕特森指出衍射圖像強度的倒易變換就是晶胞本身的自相關，因此相位的丟失就等價於對物體本身的復共軛結果進行估計。也就是說，我們拍攝到的一張晶體衍射圖像就是物體的傅里葉變換。（關於自相關、卷積和傅里葉變換請自行了解）。

此時的傅里葉變換定義為：

其中F為傅里葉變換，o為物函數，為物函數的二維笛卡爾坐標系，為傅里葉域（或者說空頻域）的二維坐標系，也即倒（易）空間，i為虛數單位。

而K空間（k-space）中，K指得是波矢。它有如下關係

所以K空間（或者說波矢空間）可以看作是倒空間的坐標系替換，即此時傅里葉變換定義變為：

動量空間和波矢空間也是差個常係數。

如果是從事信號處理領域研究的同學應該對上式就不會很陌生了，因為在信號處理領域傅里葉變換的定義為

從數學角度看，倒易空間也好，K空間也好，都是從不同角度去看問題，像一場數學遊戲。但是從物理角度看，它們都有對應的物理意義。

2020-06-15

固體物理課本告訴我們，k 空間和倒空間是一樣的，但又說倒空間一個點對應正空間的一個面。我認為無論是實空間也好，還是倒空間也罷，都是看待一個具體事物的不同角度。在數學上，倒空間是正空間的 Fourier 變換，也是正空間的逆空間。在衍射物理中，倒空間是一個經常使用的工具，不但是數學處理上方便，同時也具有一定的物理意義。

首先，大家應該都聽過：正空間和 k 空間是互為 Fourier 變換關係。其實 k 空間是個數學概念，以 MR 成像技術來說，k 空間也稱 Fourier 空間，是種帶有空間定位編碼信息的 MR 信號原始數據的填充空間，每一幅 MR 圖像都有其相應的k空間數據。對 k 空間的數據進行 Fourier 變換，就能對原始數據中的空間定位編碼信息進行解碼，得到 MR 的圖像數據。即把不同信號強度的 MR 信息分配到相應的空間位置上，即可重建出 MR 圖像了。圖 2 是 k 空間結構及相位編碼梯度場變化示意圖，圖 2a 為 k 空間填充示意圖，圖 2b 為相應的相位編碼梯度場變化示意圖。一般的 k 空間是循序對稱填充的，從方向看，填充在 k 空間中心的 MR 信號的相位編碼梯度場為 0，這時 MR 信號的強度最大，主要決定圖像的對比，但不能提供相位編碼方向上的空間信息，我們把這條 k 空間線稱為零傅立葉線（）。若從方向來看，即在每一條相位編碼線的頻率編碼方向上，其數據是由從回波信號的採用獲得。因為回波信號在時序上是對稱的，因此 k 空間的方向也是對稱的。

圖 2a. 為 k 空間填充示意圖，圖 2b. 為相應的相位編碼梯度場變化示意圖。

晶體結構的周期性可以用座標空間（r 空間或正空間）的布拉維格子來描述，這也是我們易於理解的實物粒子的普遍描述。然而量子力學告訴我們，任何基本粒子都具有波粒二象性，亦即波也是物質存在的一種基本形式。波矢 k 通常用來描述波的傳播方向，那麼晶體結構的周期性是否也可以用 k 來描述呢？根據關係式來看，由於（矢量）與存在對應關係，可以描述布拉維格子，自然也可以描述同樣的布拉維格子，且與自由電子波函數的波矢類似，因此波矢和布拉維格矢滿足的波矢，一定也可以描述布拉維格子，這就是倒格子（reciprocal lattice）的由來。從而對應上述矢量描述的布拉維格子稱為倒格子，而把所描述的布拉維格子稱為「正格子（direct lattice）」，倒格子與正格子的體積關係為（Ω* 與 Ω 分別為正、倒格子原胞的體積），剔除因子外，正格子原胞體積 Ω 和倒格子原胞體積 Ω* 互為倒數。

另外特別要提醒的是，在固體能帶理論中，能帶結構就是能量與倒空間特殊 k 點的函數（E-k 函數），而不是正空間的函數。換句話說，能帶是在動量空間的 E－k 色散關係，沒有正空間的 E－x 關係圖。

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我個人不確定我學的倒空間（reciprocal lattice space）和動量空間（momentum space）和其他答主所說的是不是只是單純名字相同定義不同，但我個人認為這兩個空間是有一定不同的。

（摳字眼警告）

momentum space單純是用動量作為描述體系的變數，這和三維空間里的x，y，z是相互對應的；reciprocal lattice space是有更多結構的空間，雖然用來描述它的語言依舊是k_x，k_y和k_z，但是這個空間具備了任何被其描述的系統H都有H（k）=H（k+G）的特點，這裡G是reciprocal lattice vectors。也就是說所有的物理只需要研究G構造出「unit cell」加上boundary condition就行了，而動量空間就沒有這種說法。

換而言之，動量空間是一個沒有任何東西的三維空間的傅立葉變換，而倒空間是有晶格結構的三維空間的傅立葉變換。

因為我個人也不是很確定，所以如果有錯誤請直接在評論區指出，謝謝。

1）越遠的越小，這樣才能截斷，所以先有倒空間，再有傅里葉變換。布里淵定理是湊出來的。

2）類似聲子態密度、電子態密度、分子動力學，周期性邊界條件+遠距離作用的，基本都要倒空間。目標就是收斂。

不來虛的。是！