圖拉普拉斯運算元為何定義為D-W

之前對圖卷積也有淺顯的研究，譜圖卷積核心就是在圖拉普拉斯運算元上做操作。但是對於圖拉普拉斯運算元一直懵懵懂懂，對於其定義有一種「好像有道理又不知為何如此」感覺，只知其一不知其二。而基本所有的資料都直接告訴你圖拉普拉斯矩陣就是D-W，久而久之就忘記追尋這種定義的源頭了。

注: 以下沒有特別嚴謹的數學推導，有些數學表達式不太嚴謹，主要源於類比+簡單推導，主要想說清楚圖上拉普拉斯運算元為啥這麼定義。如有不對，希望批評指正。

希望我可以表達清楚...

先說圖拉普拉斯運算元的定義，有很多種，主要是以下2種：

$L^{nor} = D^{-frac 1 2}LD^{-frac 1 2}$ 或者 $L^{nor} = D^{-1}L$

其實就是一種啦，第二種是第一種的normalized形式而已。

關鍵問題是，為什麼圖的拉普拉斯運算元定義為 ?呢？？？

先從拉普拉斯運算元說起...

拉普拉斯運算元數學定義是這樣的： $riangle = sum_ifrac {delta^2} {delta x_i^2}$

其含義很明確，是非混合二階偏導數的和！

要明白這個是其嚴謹的數學定義，所有的xxx拉普拉斯運算元都是其一個特例，或是某種情況下的一種近似。

我們先看看圖像處理上怎麼近似的。

圖像是一種離散數據，那麼其拉普拉斯運算元必然要進行離散化。

從導數定義說起

$egin{aligned} f(x) &= frac {delta f(x)}{delta x}\ &approx f(x+1)-f(x)\ end{aligned}$

那麼:

$egin{aligned} frac {delta^2 f(x)}{delta x^2} &= f(x) \ &approx f(x)-f(x-1) \ &approx f(x+1)-f(x) - (f(x) - f(x-1))\ &=f(x+1)+f(x-1)-2f(x) end{aligned}$

結論1：二階導數近似等於其二階差分。

結論2：二階導數等於其在所有自由度上微擾之後獲得的增益。一維函數其自由度可以理解為2，分別是+1和-1兩個方向。

對於二維的圖像來說，其有兩個方向（4個自由度）可以變化，即如果對(x,y)處的像素進行擾動，其可以變為四種狀態(x+1,y)，(x-1,y)，(x,y+1)，(x,y-1)。當然了，如果將對角線方向也認為是一個自由度的話，會再增加幾種狀態(x+1,y+1)，(x+1,y-1)，(x-1,y+1)，(x-1,y-1)，事實上圖像處理上正是這種。再當然了，如果你認為對一個像素進行微擾可能變為任何一個像素，那它的自由度就是整個圖片的像素數（不過這還叫微擾嗎？）。其實結論差不多，就討論第一種吧。

$egin{aligned} riangle &=frac {delta^2 f(x,y)}{delta x^2} + frac {delta^2 f(x,y)}{delta y^2} \ &approx f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y) + [f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)]\ &= f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y) end{aligned}$