拉普拉斯變換中的S是個什麼鬼？

A good way of thinking of where the Laplace transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.(一個比較好的關於Laplace變換的解釋方法是從冪級數(Power Series)入手。)
— —Arthur Mattuck (原MIT數學系主任)

學過控制的都知道拉氏變換(Laplace Transform)，其可以將微分方程轉化為代數方程進行運算，使得求解大為簡化。

但你們是不是也有這樣的疑問：拉氏變換中的是怎麼來的？皮埃爾-西蒙·拉普拉斯當年為啥就能想出個這樣的數學變換公式？

Pierre-Simon Laplace (1749–1827)圖片來源：（Wikipedia）

我是自從接觸拉氏變換就一直有這樣的疑問，直到有一天，看了Arthur Mattuck的微分方程才恍然大悟。更有意思的是，導師有一天也問了這樣一個看似無厘頭的問題，還好當時有所準備。

Arthur Mattuck

如果學過高等數學，都應該知道：一個冪級數可以寫為如下形式：

(1)

將其展開其實就是：

如果將其中冪級數的係數看成一組離散的函數，則上式也可以寫為：

(2)

通過把看作一組關於變數的離散函數，式相當於描述了函數的構造過程。

輸入是離散函數數列 ${a_0, a_1, a_2, ?, a_n}$ ，輸出則是由多項式構成的函數。即，只要輸入一個 ${a_0, a_1, a_2, ?, a_n}$ 數列，就可以輸出一個函數，其中，是輸出函數A(x)的自變數。

現在，舉一個例子，如果取，即 ${a_0=1, a_1=1, a_2=1, ?, a_n=1}$ ，那麼將得到輸出為：

(3)

有人說式最後等於 $frac{1}{1-x}$ ，但這麼說其實不準確，因為並不是對於所有的都成立，只有當它是一個收斂級數時才成立！

而式(3)中x的收斂域為，所以當滿足收斂條件時，式可以改寫為：

(4)

再舉一個例子，如果 $a(n)=frac{1}{n!}$ ，即 ${a_0=1, a_1=frac{1}{1!}, a_2=frac{1}{2!}, ?, a_n=frac{1}{n!}}$ ，則有：

(5)

在這個例子里，對於任意均成立，即收斂域為。其實式 就是函數 在 處的泰勒展開，或者說是函數 的麥克勞林級數。

從上面的例子可以看出，取一個定義在正整數上的離散函數，然後進行無窮次的相加操作，結果卻能夠產生一個連續函數。而且注意其中的離散函數的變數為，相加得出的卻是關於變數的連續函數。

現在，讓離散求和變成連續求和，即不再是變數，而是另外定義一個變數，並且有，即可以為中的任意數。

如果想用取替代，顯然不能再用上面處理離散序列的辦法進行求和，而是通過積分操作。即：

(6)

式與式的區別在於：用取替代了；用積分符號替代了累加符號。

我們可以保留這種形式，但是沒有數學家喜歡這樣做，而且工程師也很少會這樣做。因為在做微積分運算時，沒有人希望其中有一個指數的底是 之類的積分或微分項，這看起來很頭疼。而唯一方便的是取指數的底數為自然常數。只有才是人們喜歡用來積分或微分，因為在微積分時可以保證自身不變函數，詳見：《自然底數e怎麼就「自然」了？》和《為什麼e^x 的導數是還是其自身？》。