拉普拉斯方程-特殊技術

拉普拉斯方程

泊松方程： $abla ^2V=-frac{1}{varepsilon_{0}} ho$

現在僅僅對的區域感興趣，因此泊松方程約化為拉普拉斯方程：

先利用拉普拉斯方程在不同坐標系下展開的公式： $abla^{2}={| ext{g}_{ij}|}^{-frac{1}{2}}partial_{x^{i}} ext{g}^{ij}{| ext{g}_{ij}|}^{frac{1}{2}}partial_{x^{j}}$

證明過程請看如下Note：

Young Quantum：拉普拉斯方程不同坐標系下的表示?

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唯一性定理

第一唯一性定理：在某個區域內的拉普拉斯方程的解由電勢在這個區域的邊界面上的值所唯一決定。

唯一性定理打開了我們的想像空間：無論用什麼方法得到解毒無關緊要；只要（a）它滿足拉普拉斯方程，（b）它滿足邊界條件，則它就是正確的解。

推論：如果（a）電荷密度遍布區域，（b）電勢在所有的邊界都已指定，則區域內的電勢是唯一確定的。

第二唯一性定理：設在一個區域中有導體存在，並且有給定的電荷密度，如果每個導體上的總電荷已經給定，則電場是唯一確定的。（整個區域可以被另外的導體所包圍，也可以不被包圍。）

鏡像法

典型鏡像問題：假定一個點電荷位於一個無限大接地導體板上方，與板距離為，求解板上方的電勢是什麼？

從數學的觀點看，我們關心的問題是在區域求解泊松方程，在處有一個點電荷，其邊界條件為：

當時（因為導體板是接地的）；
當遠離電荷時（遠離是指）

根據第一唯一性定理的推論保證了僅僅有一個函數滿足上述要求，從而導致只要找到一個鏡像電荷使得該系統依舊滿足邊界條件，那麼解的函數是一致的。

其他鏡像問題：此方法並不局限於單個點電荷：任何靠近接地導電面的穩定電荷分布都可以通過引入它的鏡像電荷這種方法處理——因此命名為鏡像法。（鏡像法具有相反的符號：這保證了在接地導電面電勢為零。）現在介紹一個優美的模型：

其中根據上述技巧可以得出： $q=-frac{R}{a}q$ ， $b=frac{R^2}{a}$

現在沒有導體——僅兩個電荷。其中可以得出這個構型的電勢為：

$Vleft( m{r} ight)=frac{1}{4pivarepsilon_0}left( frac{q}{eta}+frac{q}{eta} ight)$

結論：該電勢方程就是一個靠近導體球點電荷的電勢。（注意，小於，所以鏡像電荷安全地位於球內——你不能把鏡像電荷放在你要計算的區域；這將會改變，導致你求解的泊松方程的源將是錯誤的。）

分離變數法

直角坐標系： $frac{partial^2 V}{partial x^2}+frac{partial^2 V}{partial y^2}+frac{partial^2 V}{partial z^2}=0$

其步驟先設：，然後帶入拉普拉斯方程中將得到： $frac{1}{X}frac{d^2 X}{d x^2}+frac{1}{Y}frac{d^2 Y}{d y^2}+frac{1}{Z}frac{d^2 Z}{d z^2}=0$ ，根據獨立變數線性無關可以得出： $frac{1}{X}frac{d^2 X}{d x^2}=C_1,frac{1}{Y}frac{d^2 Y}{d y^2}=C_2,frac{1}{Z}frac{d^2 Z}{d z^2}=C_3$ ，其中。

然後求解各微分方程即可，最後根據邊界條件求出各係數。（常常會採用傅里葉變換求解）

球坐標系： $frac{1}{r^{2}}partial_{r}left( r^{2}partial_{r}V ight)+frac{1}{r^{2}sin heta}partial_{ heta}left( sin hetapartial_{ heta}V ight)+frac{1}{r^{2}sin^{2} heta}partial_{phi}^{2}V=0$

若所給問題具有軸對稱性，所以不依賴於；這種情況下拉普拉斯方程化為：

$frac{1}{r^{2}}partial_{r}left( r^{2}partial_{r}V ight)+frac{1}{r^{2}sin heta}partial_{ heta}left( sin hetapartial_{ heta}V ight)=0$

依舊採取同方法，設解為：

同樣如此，求解微分方程。

對徑向求解歐拉方程（技巧：換元），其解為： $Rleft( r ight)=Ar^l+frac{B}{r^{l+1}}$

對變數為勒讓德方程: $frac{d}{d heta}left( sin hetafrac{dTheta}{d heta} ight)=-lleft( l+1 ight)sin hetaTheta$ ，其解為（以變數表示的勒讓德多項式）：

可由羅德里格公式定義： $P_lleft( x ight)=frac{1}{2^l l!}left( frac{d}{dx} ight)^lleft( x^2-1 ight)^l$ ，

其通解是分離變數解的線性疊加：

$Vleft( r, heta ight)=sum_{l=0}^inftyleft( A_l r^l+frac{B_l}{r^{l+1}} ight)P_lleft( cos heta ight)$

其勒讓德多項式的模方為： $int_{-1}^{1}P_lleft( x ight)P_{l}dx= egin{equation*}left{ egin{aligned} 0quad & quad l eq l \ frac{1}{2l+1} & quad l=l end{aligned} ight. end{equation*}$

上述是此模型滿足軸對稱性，當滿足球對稱性時即不依賴也不依賴。

當非對稱性模型時，其解將用球諧函數表示：

$Vleft( r, heta,phi ight)=sum_{l=0}^inftysum_{m=-l}^{l}left( A_l r^l+frac{B_l}{r^{l+1}} ight)Y_l^mleft( heta,phi ight)$

其簡便記法可參考：

Young Quantum：勒讓德多項式與球諧函數?

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多極展開

遠距離處的近似電勢：如果你遠離一個局域電荷分布，它「看起來」很像一個點電荷，它的電勢—作為一個很好的近似—為 $frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{Q}{r}$ ，這裡是總電荷。

現在對一種非常特殊的電荷分布情況：對任意的局域電荷分布，介紹以 $frac{1}{r}$ 冪次系統展開的方法。

在點的電勢為： $Vleft( r ight)=frac{1}{4pivarepsilon_0}int frac{1}{eta} holeft( r ight)d au$

利用遠點近似以及相應的泰勒展開，可以得出公式：

$frac{1}{eta}=frac{1}{r}sum_{n=0}^{infty}left( frac{r}{r} ight)^{n}P_nleft( cos heta ight)$ ，具體證明可以參考母函數：

Young Quantum：母函數的導出?

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從而得出： $Vleft( r ight)=frac{1}{4pivarepsilon_0}sum_{n=0}^{infty}frac{1}{r^{n+1}}left( r ight)^{n}P_nleft( cos heta ight) holeft( r ight)d au$

展開前幾項有：

$Vleft( r ight)=frac{1}{4pivarepsilon}left[ frac{1}{r}int holeft( r ight)d au+frac{1}{r^2}int rcos heta holeft( r ight)d au+frac{1}{r^3}int left( r ight)^2left( frac{3}{2}cos^2 heta-frac{1}{2} ight) holeft( r ight)d au+cdots ight]$

這便是按 $frac{1}{r}$ 冪次的多極展開。

單極項和偶極項：多極展開的主要貢獻來自於單極項： $V_{unipolar}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{Q}{r}$ ，其中

，如果總電荷微零，對電勢的主要貢獻是偶極：

$V_{dipole}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{1}{r^2}int rcos heta holeft( r ight)d au$ ，其中

簡化的表示為： $V_{dipole}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{1}{r^2}hat{m{r}}cdotint rleft( r ight)d au$ ，偶極矩：從而得出： $V_{dipole}=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{m{p}cdotm{hat{r}}}{r^2}$

多極展開中坐標原點：移動原點時，單極矩 並不改變，因為總電荷顯然不依賴於坐標系的。但是對偶極矩將會改變，假定將原點移動了，新的偶極矩為：

$egin{array}{1} ar{m{p}} &=int ar{m{r}} holeft( m{r} ight)d au=intleft( m{r}-m{a} ight) holeft( m{r} ight)d au\ &=intm{r} holeft( m{r} ight)d au-m{a}int holeft( m{r} ight)d au\ &=m{p}-m{a}Q end{array}$

特別有，當，則。（因此，在求解偶極矩的時候，如果時，則要特別注意原點的選擇。）

註：一個純粹的偶極子的電場可以寫為不依賴於坐標系的形式 $m{E}_{dipole}left( m{r} ight)=frac{1}{4pivarepsilon_0}frac{1}{r^3}left[ 3left( m{p}cdothat{m{r}} ight)hat{m{r}}-m{p} ight]$