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Seiberg-Witten理論和S-對偶，這些從電磁對偶推廣來的，也是電動力學。

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（ SYM中的）電磁對偶和Geometric Langlands Program 有關。

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好問題。想過好久，分享下個人的理解，僅供娛樂，歡迎勘誤。

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0 唯象理論全家桶

以解釋實驗現象為主的各種安培定律庫倫定律法拉第定律什麼的，認真實驗，小心推理，大膽假設，主要靠猜，各自為營，重在實用，上對得起實驗 ，下騙得了自己，要啥自行車。

1 麥克斯韋方程組（積分形式）

有啥好說的，四行代碼，撐起紛繁複雜的經典電磁學大廈，不多一分，不少一分，邏輯自洽，圖像清楚，生動直觀，運用最多。我不是針對任何人...

2 微分形式

重構了代碼，引入了矢量微積分，散度，旋度等新的feature。

相比積分形式，更能夠體現代碼的定域性了。既物理狀態只受它自己及附近的物理狀態影響。

沒有「全局變數「。

雖然功能一樣，但更符合物理學家審美了不是么？

Zen of Physics!

3 閔可夫斯基空間的四維形式

該版本特別聲明了對狹義相對論的兼容。注意，前幾個版本也是兼容狹義相對論的，前幾個版本跟經典力學有衝突，後來證明是經典力學不行。

這個版本將電勢與磁矢勢看作一個閔式四維矢量——4勢的時空分量，方程組以四維電磁張量的形式寫出。方程數目減少到兩個。但比數目更重要的，是這個形式下可以非常容易地看出電場與磁場的相對性，電場與磁場在不同慣性參考系下如何自然地互相轉化。或者武斷點說磁場就是電場的相對論效應，也不算特別錯。

4a 彎曲時空的協變形式

4a跟下面的4b不兼容，先分個岔。為了從狹義相對論推廣到廣義相對論。4a引入了微分幾何工具包，用協變導數，協變張量等概念替代了平直時空中一般的偏微分，張量等。構建了彎曲時空中的經典電動力學。幾何內容雖豐富了很多，但真正電磁場本身的框架與3是大差不差的。

5a 外微分形式

運用了外微分這個數學結構重新寫了一遍4a。這個形式的幾何圖像非常漂亮，一度是我最喜歡的一種形式。同時，它終於終結了我從中學到大學想了若干年也沒想明白的奪命連環追問：（為什麼積分形式就長這樣啊？/為什麼微分形式就長這樣啊？/為什麼電磁場張量就長這樣啊？）

它將方程數目由兩個進一步減少到一個。（其實還是兩個，不過正如其他答主也提到過，其中一個方程對應畢安基恆等式，或者另一個更加外微分范兒的名字，代數拓撲基本定理：邊界的邊界為零。這個方程等價於對4勢求兩次外微分，結果恆為零，因此不必單獨列出。）剩下的唯一一個方程的物理意義可以理解為能動量守恆。因此，麥克斯韋方程組為什麼長成現在這種結構？1，物理上能動量要守恆。2，幾何定理限制。

不多一分，不少一分。十分優雅。

4b 量子電動力學

相比上個版本3，4b為了支持量子化，在底層邏輯進行了比較徹底的重構。從這裡開始，場不再代表時空中分布的一個一個數，而是時空中分布的一個一個算符。場的基態對應真空，場的激發不再是經典的波，而是(准)粒子。場算符確定場的基態與激發態性質。

這一重構的代價使得4b兼容3之後的幾何版本有著各種各樣地幺蛾子bug。但它在自己微觀平直時空的一畝三分地表現極其優秀，是人類精確度最高的理論好像沒有之一。

5b 規範場理論

意識到4b的本質是一個 5b-1 U(1)規範場理論，對應的數學結構是纖維叢。從而沿著這個思路可以推廣U(1)對稱性到SU(2)對稱性，這就得到了5b-2 SU(2)規範場理論，也就是楊振寧先生著名的Yang-Mills 理論，找到了又一個四大基本力——弱相互作用的量子場論。

6b 電弱統一理論

5b-1和5b-2的集大成者，再往上走還可以有 7b 標準模型，不過離maxwell equation有點遠了。不再展開。

？ 最高境界

還早。

部分遺珠：介質中麥克斯韋方程組，非線性麥克斯韋方程組，磁單極子，弦網凝聚等

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【@頤和園工人 的回答顯然有明顯錯誤…（ @Yongle Li 老師關注者不少，點贊要謹慎啊）】

首先，在Minkowski空間中用電磁張量寫下的麥克斯韋方程組是下面這樣的：(這裡常數都取1）

@頤和園工人 的回答中的第二段漏掉了第二個方程。

其次，在曲率不再限制為零的空間中，上面的用電磁張量寫下的麥克斯韋方程組變成如下形式：

@頤和園工人 的回答中的第三段又漏掉了第一個方程。

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目前來說是 Glashow–Weinberg–Salam 的電弱統一理論。它在低能下對稱性發生破缺，就可以退化到量子電動力學（QED）。

這一理論對應的拉氏量為：

式中， 為 雙重態（對應 2 表示）， 為 單重態（對應 1 表示）， 和 就是電子和電子中微子，下標 L、R 表示左右手（實驗未觀測到左手中微子的存在）； 和 分別是 規範玻色子和 超荷規範玻色子對應的場強； 為 Higgs 玻色子。 是協變導數：

這裡 是 的表示矩陣（李代數生成元）， 是超荷； 和 分別是對應的耦合常數。另外，簡單起見，我們省略了夸克項，並且只考慮第一代輕子（即只有電子及其中微子）。

在能量極小值點附近展開 Higgs 場（取幺正規範）：

經過一些計算，可以得到動能項：

其中 和 分別為光子和 Z 玻色子對應的場強，且有

式中的 就是著名的弱混合角。

接下來處理協變導數。它現在可以寫成

這裡 即為電荷。此時在拉氏量就可以看到 QED 的相互作用項：

省略號為 W/Z 玻色子參與的相互作用。

最後是質量項。與上面類似，把 Higgs 場的展開形式代入拉氏量中的 Yukawa 項，得到

這裡 即為電子質量。

這樣，我們就從電弱統一理論經過對稱性破缺得到了倍感親切的 QED 拉氏量（為了防止混淆，這裡把 Dirac 場從 換成了 ）：

式中的協變導數為 。利用變分法得到對 的 Euler–Lagrange 方程：

顯然，這就是 Maxwell 方程（的張量形式）。

參考

• Michael E. Peskin Daniel V. Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory, §20.1, 20.2
• Matthew D. Schwartz. Quantum Field Theory and the Standard Model, §29.1–29.3
• F. Mandl G. Shaw. Quantum Field Theory, §18.3, 19.1, 19.2, Appendix B

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