拉普拉斯方程不同坐標系下的表示

由於最近在知乎中看見一些問題，關於拉普拉斯運算元在不同坐標系下的表示，主要是為了讓大家擺脫死記硬背的方法，其中關於此問題「請問拉普拉斯運算元如何進行坐標變換？」中看見大佬 @董玉龍給出了非常簡單易記的公式：

$abla^{2}={| ext{g}_{ij}|}^{-frac{1}{2}}partial_{x^{i}} ext{g}^{ij}{| ext{g}_{ij}|}^{frac{1}{2}}partial_{x^{j}}$

當然現在我只是要給出這個公式怎麼推出來的，並給出一些有關張量分析裡面的額外知識。

先給出有關協變、逆變分量，以及協變基矢量和逆變基矢量的定義.

矢量 $u= u^{i}underline{ ext{g}}_{i}= u_{i}underline{ ext{g}}^{i}$ ，其中 $u^{i}$ 為逆變分量， $u_{i}$ 為協變分量， $underline{ ext{g}}^{i}$ 為逆變基矢量， $underline{ ext{g}}_{i}$ 為協變基矢量，其中可以把協變基矢量和逆變基矢量分別按逆變基和協變基分解，即 $underline{ ext{g}}_{i}= ext{g}_{ij}underline{ ext{g}}^{j},underline{ ext{g}}^{i}= ext{g}^{ij}underline{ ext{g}}_{j}$ .其中協變基矢量和逆變基矢量符合下面性質：

$underline{ ext{g}}_{i}cdotunderline{ ext{g}}^{j}= egin{cases} 1 & ext{當}i=j. \ 0 & ext{當}i eq j. end{cases}$
$underline{ ext{g}}_{i}cdotunderline{ ext{g}}_{j}= ext{g}_{ij},underline{ ext{g}}^{i}cdotunderline{ ext{g}}^{j}= ext{g}^{ij}.$
$underline{ ext{g}}_{ij}underline{ ext{g}}^{ik}=delta_{j}^{k} .$

根據上面的性質可以得出協變基矢量與逆變基矢量的關係：

$underline{ ext{g}}^{1}=frac{underline{ ext{g}}_{2} imesunderline{ ext{g}}_{3}}{[underline{ ext{g}}_{1}underline{ ext{g}}_{2}underline{ ext{g}}_{3}]},underline{ ext{g}}^{2}=frac{underline{ ext{g}}_{3} imesunderline{ ext{g}}_{1}}{[underline{ ext{g}}_{1}underline{ ext{g}}_{2}underline{ ext{g}}_{3}]},underline{ ext{g}}^{3}=frac{underline{ ext{g}}_{1} imesunderline{ ext{g}}_{2}}{[underline{ ext{g}}_{1}underline{ ext{g}}_{2}underline{ ext{g}}_{3}]}$

其中 $[underline{ ext{g}}_{1}underline{ ext{g}}_{2}underline{ ext{g}}_{3}]=underline{ ext{g}}_{1}cdotunderline{ ext{g}}_{2} imesunderline{ ext{g}}_{3}$ 和 $ext{g}=| ext{g}_{ij}|= {left| egin{array}{ccc} ext{g}_{11} & ext{g}_{12} & ext{g}_{12}\ ext{g}_{21} & ext{g}_{22} & ext{g}_{23} \ ext{g}_{31} & ext{g}_{32}& ext{g}_{33} end{array} ight |}$ ,可以得出 ${[underline{ ext{g}}_{1}underline{ ext{g}}_{2}underline{ ext{g}}_{3}]}^{2}=g$ .

根據 ${G}= ext{g}_{ij}underline{ ext{g}}^{i}underline{ ext{g}}^{j}$ ，其中稱張量為度量張量.

為證明我們的目標公式，先引入，令：

$frac{partialunderline{ ext{g}}_{i}}{partial x^{j}}=Gamma_{ijk}underline{ ext{g}}^{k}=Gamma_{ij}^{k}underline{ ext{g}}_{k}$

關於克氏符號的一些性質不再介紹了，大家可以額外去推導.

準備手段基本上已經完成了，現在進行證明：

$[egin{array}{l} frac{{partial sqrt g }}{{partial {x^i}}} = frac{partial }{{partial {x^i}}}left[ {{{underline{ ext{g}}}_1} cdot {{underline{ ext{g}}}_2} imes {{underline{ ext{g}}}_3}} ight]\ = frac{{partial {{underline{ ext{g}}}_1}}}{{partial {x^i}}} cdot {{underline{ ext{g}}}_2} imes {{underline{ ext{g}}}_3} + {{underline{ ext{g}}}_1} cdot frac{{partial {{underline{ ext{g}}}_2}}}{{partial {x^i}}} imes {{underline{ ext{g}}}_3} + {{underline{ ext{g}}}_1} cdot {{underline{ ext{g}}}_2} imes frac{{partial {{underline{ ext{g}}}_3}}}{{partial {x^i}}}\ = Gamma _{1i}^k{{underline{ ext{g}}}_k} cdot {{underline{ ext{g}}}_2} imes {{underline{ ext{g}}}_3} + Gamma _{2i}^k{{underline{ ext{g}}}_1} cdot {{underline{ ext{g}}}_k} imes {{underline{ ext{g}}}_3} + Gamma _{3i}^k{{underline{ ext{g}}}_1} cdot {{underline{ ext{g}}}_2} imes {{underline{ ext{g}}}_k}\ = left( {Gamma _{1i}^1 + Gamma _{2i}^2 + Gamma _{3i}^3} ight){{underline{ ext{g}}}_1} cdot {{underline{ ext{g}}}_2} imes {{underline{ ext{g}}}_3}\ = Gamma _{ji}^jsqrt g \ Rightarrow Gamma _{ji}^j = frac{1}{{sqrt g }}frac{{partial sqrt g }}{{partial {x^i}}} end{array}]$

由於 $abla = ext{g}^{i}frac{partial}{partial x^{i}}$ ，可以得出的散度（注意裡面的基矢量可能隨坐標變換而變換）：

$[egin{array}{l} abla cdot v\ = {underline{ ext{g}}^i}frac{partial }{{partial {x^i}}} cdot left( {{v^j}{{underline{ ext{g}}}_j}} ight)\ = {underline{ ext{}g}^i} cdot {underline{ ext{g}}_j}frac{{partial {v^j}}}{{partial {x^i}}} + {v^j}{underline{ ext{g}}^i} cdot frac{{partial {underline{ ext{g}}_j}}}{{partial {x^i}}}\ = {delta _{ij}}v_{,j}^i + {v^j}{underline{ ext{g}}^i} cdot Gamma _{ij}^k{underline{ ext{g}}_k}\ = v_{,j}^j + {v^j}Gamma _{ij}^i\ ecauseGamma _{ji}^j = frac{1}{{sqrt g }}frac{{partial sqrt g }}{{partial {x^i}}}\ = v_{,j}^j + {v^j}frac{1}{{sqrt g }}frac{{partial sqrt g }}{{partial {x^j}}}\ = frac{1}{{sqrt g }}frac{{partial left( {{v^j}sqrt g } ight)}}{{partial {x^j}}} end{array}]$

現在不妨令 ,即有 $v^{j}=vcdotunderline{ ext{g}}^{j}=underline{ ext{g}}^{i}frac{partialvarphi}{partial x^{i}}cdotunderline{ ext{g}}^{j}=underline{ ext{g}}^{ij}frac{partialvarphi}{partial x^{i}}$

帶入到的散度上去，即有：

$abla^{2}varphi=frac{1}{sqrt{g}}frac{partial}{partial x^{j}}left( sqrt{g}underline{ ext{g}}^{ij}frac{partialvarphi}{partial x^{i}} ight)$

即： $abla^{2}= abla^{2}varphi=frac{1}{sqrt{g}}partial_ {x^{j}}left( sqrt{g}underline{ ext{g}}^{ij}partial _{x^{i}} ight)$

從而證明出公式，現在舉一個例子試試，雖然前面問題的回答已經有了，但是我還是自己動手試一試：

由於 $dR=underline{ ext{g}}_{i}dx^{i}Rightarrow dR^{2}=dRcdot dR= ext{g}_{ij}dx^{i}dx^{j}>0$ ,將 $ext{g}_{ij}$ 寫成矩陣的形式，顯然是正定的，從而定義 $sqrt{ ext{g}}={| ext{g}_{ij}|}^{1/2}$ 是由意義的.

對球坐標而言有： $dR=drhat e_{r}+rd hetahat e_{ heta}+rsin heta dphihat e_{phi}$ ,線元 $dR^{2}=dr^{2}+r^{2}d heta^{2}+r^{2}sin^{2} heta dphi^{2}$ ,從而有度規 $left[ ext{g}_{ij} ight]=diag{1,r^{2},r^{2}sin^{2} heta}$ ，行列式 $g=r^{4}sin^{2} heta$ ,逆 $left[ ext{g}^{ij} ight]=diag{1,r^{-2},r^{-2}sin^{-2} heta}$ ，從而有拉普拉斯運算元為： $abla^{2}=frac{1}{r^{2}}partial_{r}left( r^{2}partial_{r} ight)+frac{1}{r^{2}sin heta}partial_{ heta}left( sin hetapartial_{ heta} ight)+frac{1}{r^{2}sin^{2} heta}partial_{phi}^{2}$

當然根據協變基矢量我們可以簡單的得出運算元在不同坐標系下的表示，展示一個在球坐標系下的表示：根據協變基矢量與逆變基矢量的性質，顯然可以得出逆變基矢量在球坐標下的形式為 $ext{g}^{1}=hat e_{r}, ext{g}^{2}=frac{1}{r}hat e_{ heta}, ext{g}^{3}=frac{1}{rsin heta}hat e_{phi}$ ，從而帶入運算元的表達式即可，所以在球坐標下的表示為： $abla=frac{partial}{partial r}hat e_{r}+frac{1}{r}frac{partial}{partial heta}hat e_{ heta}+frac{1}{rsin heta}frac{partial}{partialphi}hat e_{phi}$ .