3 張量積與量子力學

糾纏態與可分態

當我們有分別在Hilbert空間 $mathcal{H}^{(1)}$ 與 $mathcal{H}^{(2)}$ 上的兩個量子力學系統時，組合系統所在的Hilbert空間也就是 $mathcal{H}^{(1)} otimes mathcal{H}^{(2)}$ ，若 $mathcal{H}^{(1)}$ 有一組基 $mathbf{e}_{1}^{(1)}, ldots, mathbf{e}_{m}^{(1)}$ ， $mathcal{H}^{(2)}$ 有一組基 $mathbf{e}_{1}^{(2)}, ldots, mathbf{e}_{n}^{(2)}$ ，則組合系統的一個態可寫作

$mathbf{Psi}=psi^{i j} mathbf{e}_{i}^{(1)} otimes mathbf{e}_{j}^{(2)} in mathcal{H}^{(1)} otimes mathcal{H}^{(2)}$

若我們能找到

$egin{aligned} mathbf{Phi} &= phi^{i} mathbf{e}_{i}^{(1)} in mathcal{H}^{(1)} \ mathbf{X} & = x^{j} mathbf{e}_{j}^{(2)} in mathcal{H}^{(2)} end{aligned}$

使得

$mathbf{Psi}=mathbf{Phi} otimes mathbf{X} equiv phi^{i} chi^{j} mathbf{e}_{i}^{(1)} otimes mathbf{e}_{j}^{(2)}$

我們就說態是可分的(decomposable)，反之則是糾纏的(entangled)。

投影空間與Segre簇

量子力學中的態實際上是與Hilbert空間中的射線而不是向量一一對應，因為時向量與描述同一個態。對複數域上的一個維向量空間 $mathbb{C}^n$ ，我們將其中射線的空間記為 $mathbb{C} P^{n-1}$ ，稱它是復投影空間(complex projective space)，代數幾何會研究它。上面所說的可分態的集合可看作是 $mathbb{C} P^{n m-1}$ 的一個子集，我們將會看到它通過有限個齊次多項式方程定義，代數幾何學家稱這個集合為Segre簇(Segre variety)。

我們來考慮態可分需要的條件。首先觀察涉及空間的維數，若態可分應滿足 $mathrm{dim} mathbb{C}P^{nm-1}-mathrm{dim} mathbb{C}P^{n-1}-mathrm{dim} mathbb{C}P^{m-1}=nm-n-m+1=(n-1)(m-1)$ 個關係。同時對任意指標都應有

$det left( egin{matrix} psi^{ij} & psi^{il} \ psi^{kj} & psi^{kl} end{matrix} ight)=0$

然而我們並不需要如此多方程。下面只考慮 $psi^{11} eq 0$ 的情況。

事實上我們只需要上面方程的一部分，也就是對任意指標，都有

$det left( egin{matrix} psi^{11} & psi^{1j} \ psi^{i1} & psi^{ij} end{matrix} ight)=0$

即

$psi^{ij}=frac{psi^{1j}psi^{i1}}{psi^{11}}(i,j eq 1)$

我們取

$phi^i=psi^{i1},chi^j=frac{psi^{1j}}{psi^{11}}$

就能滿足態可分：

$egin{aligned}psi^{ij}&=phi^ichi^j(i,j eq 1)\psi^{i1}&=phi^ichi^1(i eq 1)\ psi^{1j}&=phi^1chi^j(j eq 1)\ psi^{11}&=phi^1chi^1end{aligned}$

於是我們證明了這個方程就是態可分的充要條件。

玻色子與費米子

根據玻色子和費米子交換時的統計性質，我們自然可以分別用階對稱和交錯張量空間中的元素來描述它們。

考慮有個費米子的可分態

$egin{aligned} mathbf{Psi} &=psi_{1} wedge psi_{2} wedge cdots wedge psi_{N} \ &=psi_{1}^{i_{1}} psi_{2}^{i_{2}} cdots psi_{N}^{i_{N}} mathbf{e}_{i_{1}} wedge mathbf{e}_{i_{2}} wedge cdots wedge mathbf{e}_{i_{N}} end{aligned}$

這個多體波函數可寫成Slater行列式(Slater determinant)：

$Psi^{i_{1} i_{2} ldots i_{N}}=left| egin{array}{cccc}{psi_{1}^{i_{1}}} & {psi_{1}^{i_{2}}} & {cdots} & {psi_{1}^{i_{N}}} \ {psi_{2}^{i_{1}}} & {psi_{2}^{i_{2}}} & {cdots} & {psi_{2}^{i_{N}}} \ {vdots} & {vdots} & {ddots} & {vdots} \ {psi_{N}^{i_{1}}} & {psi_{N}^{i_{2}}} & {cdots} & {psi_{N}^{i_{N}}}end{array} ight|$

這樣的波函數當然只能描述非常特殊的一些態，通常的費米子多體波函數只能表示成很多Slater行列式之和。量子化學中常用的Hatree-Fock近似方法選擇一個Slater行列式作為試探波函數，只改變其中的單體波函數 $langle i | psi_{a} angle equiv psi_{a}^{i}$ ，不過它還是非常成功的。

Plücker關係

什麼時候個費米子的態可分呢？一位代數幾何學家，同時也是第一個觀察到陰極射線在磁場中的偏折現象，第一個指出每個元素都有它對應的特徵發射光譜的實驗物理學家，Julius Plücker(1801-1868)，早在量子力學誕生前就給出了一個充要條件，它稱為Plücker關係(Plücker relations)：

對任意指標 $i_{1}, dots i_{N-1},j_{1}, dots, j_{N+1}$ 都有

$Psi^{i_{1} i_{2} ldots i_{N-1}left[j_{1} ight.} Psi^{j_{2} j_{3} cdots j_{N+1}]}=0$

這個表達式關於方括弧內的指標交換反對稱，例如一個三體波函數可分等價於

$Psi^{i_{1} i_{2} j_{1}} Psi^{j_{2} j_{3} j_{4}}-Psi^{i_{1} i_{2} j_{2}} Psi^{j_1 j_{3} j_{4}}+Psi^{i_{1} i_{2} j_{3}} Psi^{j_{1} j_{2} j_{4}}-Psi^{i_{1} i_{2} j_{4}} Psi^{j_{1} j_{2} j_{3}}=0$

一種精確解Korteweg–de Vries孤子方程的方法：Hirota雙線性方程(Ryogo Hirota, 1971, Phys. Rev. Lett. 27, 1192)實際上就使用了Plücker關係。

下面我們來證明Plücker關係就是費米子態可分的充要條件。我們要證明：態

$mathbf{A}=A^{i_{1} ldots i_{k}} mathbf{e}_{i_{1}} wedge ldots wedge mathbf{e}_{i_{k}} in igwedge^{k} V$

可分為

$mathbf{A}=mathbf{f}_{1} wedge mathbf{f}_{2} wedge ldots wedge mathbf{f}_{k}$

的充要條件是對任意指標 $i_{1}, dots, i_{k-1}, j_{1}, dots j_{k+1}$ 都有

$A^{i_{1} ldots i_{k-1}left[j_{1} ight.} A^{j_{2} j_{3} dots j_{k+1}]}=0$

首先定義兩個的子空間：

(i) 是使得 $mathbf{A} in igwedge^{k} W$ 的的最小子空間；

(ii) $W^{prime}={mathbf{v} in V : mathbf{v} wedge mathbf{A}=0}$ ；

定義一個映射，它將

$Xi=Xi_{i_{1} ldots i_{k-1}} mathbf{e}^{* i_{1}} wedge ldots wedge mathbf{e}^{* i k-1} in igwedge^{k-1} V^{*}$

映射到

$i(Xi) mathbf{A} = Xi_{i_{1} ldots i_{k-1}} A^{i_{1} ldots i_{k-1} j} mathbf{e}_{j} in V$

取的一組基 $mathbf{w}_{1}, mathbf{w}_{2}, dots, mathbf{w}_{n}$ ，我們有 $mathbf{w}_1 wedge mathbf{A}=0$ ，於是存在 $varphi_1 in igwedge^{k-1}V$ ，使得 $mathbf{A}=mathbf{w}_1 wedge varphi_1$ ；依此類推最後有，存在 $mathbf{varphi} in igwedge^{k-n} V$ ，使得

$mathbf{A}=mathbf{w}_{1} wedge mathbf{w}_{2} wedge cdots wedge mathbf{w}_{n} wedge mathbf{varphi}$

因此 $W^{prime} subseteq W$ 。

若 $mathbf{A}=mathbf{f}_{1} wedge mathbf{f}_{2} wedge ldots wedge mathbf{f}_{k}$ ，則 $W=operatorname{span}left{mathbf{f}_{1} ,ldots, mathbf{f}_{k} ight} subseteq W^{prime}$ ，於是 $W^{prime}=W$ ；若 $W^{prime}=W$ ，則，此時已有可分，因此 $W^{prime}=W$ 當且僅當可分，接下來我們只需要找 $W subseteq W^{prime}$ 成立的條件。