快速求解法向量的第三種方法——借零構造法

寫在前面：

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如果能夠耐得住寂寞看完，必定有所收穫。千萬不要只看，更要動手算。拿出自己的演草紙吧，自己動手，豐衣足食。

我相信，大部分同學在高考當中立體幾何大題的第二問都是要用空間向量的方法來解題的，這點不接受反駁，因為畢竟很多同學並不擅長用幾何法去尋找線面角或者二面角，尤其是二面角，而且，我們數學選修2-1第三章課本當中花費了相當大的篇幅來講解空間向量在立體幾何中的應用，因此，我們可以肯定的是：

立體幾何的第一問往往是運用幾何法求解比較基本的平行和垂直關係，而第二問則是藉助向量的工具，將幾何問題轉化為代數問題進行求解。

不管題目是讓我們求解線面角還是二面角，求解平面的法向量一直都是繞不開的一個話題，那麼如何快速求解法向量則是我們需要關注的話題。

課本當中給出的相當於是通性解法，比如我們來看下面這個例子：

設平面內的兩個向量坐標分別為，求平面的一個法向量

方法1：方程組法（通解通法）

我們課本當中已經進行介紹：

設則 $left{ egin{array} { c } { 2 x + 3 y + z = 0 } \ { x - 3 z = 0 } end{array} ight.$ $Rightarrow left{ egin{array} { c } { x = 3 z } \ { y = - frac { 7 } { 3 } z } end{array} ight.$ 取則故

其實這裡我們已經可以採取一種優化策略：

在得到方程組 $left{ egin{array} { c } { 2 x + 3 y + z = 0 } \ { x - 3 z = 0 } end{array} ight.$ 之後，不去尋找三者之間的關係，而是直接令從而得到省去中間找關係的步驟，會節約一點點時間。

方法2：行列式法（高等數學方法）

這裡其實在我之前的文章中已經有講到，當時是進行的直觀講解，大家可以移步看一下這個帖子。

牆裂推薦啊！！！

雪地嘆息瓶：【技巧001】立體幾何快速求解法向量?

zhuanlan.zhihu.com

這裡稍微做一下知識的補充：

定義：

二階行列式

$left| egin{array} { c c } { a } & { b } \ { c } & { d } end{array} ight| = a d - b c$

三階行列式

$left| egin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \ { c _ { 1 } } & { c _ { 2 } } & { c _ { 3 } } end{array} ight|$ $= a _ { 1 } b _ { 2 } c _ { 3 } + a _ { 2 } b _ { 3 } c _ { 1 } + a _ { 3 } b _ { 1 } c _ { 2 } - a _ { 3 } b _ { 2 } c _ { 1 } - a _ { 2 } b _ { 1 } c _ { 3 } - a _ { 1 } b _ { 3 } c _ { 2 }$

由

得 $vec { n } = left| egin{array} { c c c } { vec { i } } & { vec { j } } & { vec { k } } \ { 2 } & { 3 } & { 1 } \ { 1 } & { 0 } & { - 3 } end{array} ight|$ 行列式可藉助代數餘子式 $left| egin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \ { c _ { 1 } } & { c _ { 2 } } & { c _ { 3 } } end{array} ight|$ $= a _ { 1 } left| egin{array} { c c } { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \ { c _ { 2 } } & { c _ { 3 } } end{array} ight| - a _ { 2 } left| egin{array} { c c } { b _ { 1 } } & { b _ { 3 } } \ { c _ { 1 } } & { c _ { 3 } } end{array} ight| + a _ { 3 } left| egin{array} { c c } { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } \ { c _ { 1 } } & { c _ { 2 } } end{array} ight|$ 展開得到

故 $vec { n } = left| egin{array} { c c } { 3 } & { 1 } \ { 0 } & { - 3 } end{array} ight| vec { i } - left| egin{array} { c c } { 2 } & { 1 } \ { 1 } & { - 3 } end{array} ight| vec { j } + left| egin{array} { c c } { 2 } & { 3 } \ { 1 } & { 0 } end{array} ight| vec { k }$

即

也即 $vec { n } = left( left| egin{array} { c c } { 3 } & { 1 } \ { 0 } & { - 3 } end{array} ight| , - left| egin{array} { c c } { 2 } & { 1 } \ { 1 } & { - 3 } end{array} ight| , left| egin{array} { c c } { 2 } & { 3 } \ { 1 } & { 0 } end{array} ight| ight)$