上次信息課的時候在學校機房時看到一個小朋友寫了一個自創的三次方程因式分解的方法，吹捧的有些厲害，其實用多項式除法便可以輕輕鬆鬆解決;

多項式除法_百度百科?

baike.baidu.com圖標

在此不作批評，只是想由這個引出我寫這篇文章的意思：介紹一個小技巧。

我們先來點理論課：

一、整係數多項式有理根的性質: 若既約分數 frac{q}{p} 為整係數多項式 f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n} 的根，則：

(1) p|a_{0} 且 q|a_{n} ；

(2) f(x)equiv kp[mod(x-frac{q}{p})] ,kin Z

推論1

最高次項係數為1的整係數多項式的有理根必為整數。

推論2

f(x) 若既約分數 frac{q}{p}為整係數多項式 f(x)的根，則除以 px-q 所得的商為整係數多項式。

二、餘式定理：當一個多項式 f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n} 除以 ax-b 時， 所得的餘數等於 f(frac{b}{a}) .

推論:因式定理：如果多項式f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n} 滿足 f(frac{b}{a})=0 ，那麼多項式 f(x) 必定含有因式 frac{b}{a} 。反過來，如果f(x)含有因式frac{b}{a}，那麼，

f(frac{b}{a})=0 .

三、有特殊根的定理：對於多項式 f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}，(a_{0} e0) :

(1) 多項式f(x)有根 1Leftrightarrow a_{0}+a_{1}+...+a_{n-1}+a_{n}=0 ；

( 2) 多項式f(x)有根 -1Leftrightarrow a_{0}+a_{2}+...=a_{1}+a_{3}+... ；

( 3) 多項式f(x)沒有正根 Leftarrow 所有係數 a_{i} 同號；

( 4) 多項式f(x)有沒根負根 Leftarrow 所有偶數項係數都是正數，同時所有奇數項係數都是負數。

下面來兩道最近刷題的典例：

例1（2014年湖南省數學競賽試題）：不等式 |x|^{3}-2x^{2}-4|x|+3<0 的解集是_____.

解：原不等式等同於 f(|x|)=|x|^{3}-2|x|^{2}-4|x|+3<0 .

注意到常數項為 3 、三次項為 1 ，由此猜測 3 是原函數的一個實根。

之後發現 f(3)=0 ,於是由多項式除法便有 f(|x|)=(|x|-3)(|x|^{2}+|x|-1) .

故解集是 (-3,-frac{sqrt{5}-1}{2})cup(frac{sqrt{5}-1}{2},3) .

例2（2014年湖南省高中數學夏令營競賽試題）：若 sin^{3}x-cos^{3}x=-1, 則 sinx-cosx 的值為_____.

解：由立方差公式, sin^{3}x-cos^{3}x=(sinx-cosx)(sin^{2}x+cos^{2}x+sinxcosx)=-1;

令 sinx-cosx=t. 則上式為 t(1+frac{1-t^{2}}{2})=-1Leftrightarrow t^{3}-3t-2=0.

令 f(t)=t^{3}-3t-2.

注意到常數項為 -2 、三次項為 1 ，猜測 2 是原函數的一個零點。

之後發現 f(2)=0 ,於是由多項式除法便有 f(t)=(t-2)(t^{2}-1)=(t-2)(t+1)(t-1).

又因為 t=(sinx-cosx)in[sqrt{2},sqrt{2}].

故 sinx-cosx=1.

希望對大家以後的因式分解有那麼一點點的幫助~


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