一位上实剑桥学A-level further math的学生曾问过这样一道题：

这是他们期末测试的最后一题，对于国际高中的学生确实有难度，其中运用的方法是三角级数

求和的经典技巧。这里需要借助复数的指数形式：

对于任意复数 ，其中a、b为实数， ，

可以写成 的三角形式，其中 (具体推导可以看《如何理解复数的四则运算？》)

也可以写成 ，即 (欧拉公式)。

特别的，当 时，有 ,即

这就是上帝公式，数学中五个最重要的常数 都在一个式子中了，多么神奇。

验证这个式子比较简单，根据麦克劳林级数 ，把 带入可知

又因为 ,

所以， .

那么如何证明呢？

令 ,求导可知

分离变数法求解上述微分方程可得：

,

又因为 ,所以 。

因此， ，得证。

如果知道上述欧拉公式，那么理解复数的乘除就是拉伸与旋转变换就很简单了：

还有复数的棣莫弗公式也非常简单了：

。

所以上述欧拉公式还是非常有用的。那么言归正传，如何求解 呢？

这里我们需要为每一项 补一项 ,然后算出来的值取实部就可以了:

,

其中 表示取这个复数的实部。

那么

上式变成了等比数列求和，且公比 ，所以根据无穷等比数列求和公式 可得

化简可知

原式= 。

利用上述技巧可以比较快速的推导三角函数中一个著名的公式

下证：

其中Im()表示取复数的虚部。

那么，原式=

分子分母同时除以

再取虚部，原式 ，得证。

所以对于三角级数的问题，我们都可以采取这种技巧：先补项，借助欧拉公式，转化成等比数列求和，最后取实部或者虚部。

其实除了求和，对于型如 或 的积分，我们也可以采取上述方法，毕竟积分也是求和。如：

所以

取虚部可知：

在竞赛中这也是常用的求解三角级数和的方法，比较容易入手，对于三角函数的要求不高，不过要看清楚是三角函数「相加」的形式，对于三角函数「相乘」可不能用这种方法求解！

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