【「數」你好看】三角級數求和
一位上實劍橋學A-level further math的學生曾問過這樣一道題：
這是他們期末測試的最後一題，對於國際高中的學生確實有難度，其中運用的方法是三角級數求和的經典技巧。這裡需要藉助複數的指數形式：
對於任意複數 ，其中a、b為實數，
，
可以寫成 的三角形式，其中
(具體推導可以看《如何理解複數的四則運算？》)
也可以寫成 ，即
(歐拉公式)。
特別的，當 時，有
,即
這就是上帝公式，數學中五個最重要的常數 都在一個式子中了，多麼神奇。
驗證這個式子比較簡單，根據麥克勞林級數 ，把
帶入可知
又因為 ,
所以， .
那麼如何證明呢？
令 ,求導可知
分離變數法求解上述微分方程可得：
,
又因為 ,所以
。
因此， ，得證。
如果知道上述歐拉公式，那麼理解複數的乘除就是拉伸與旋轉變換就很簡單了：
還有複數的棣莫弗公式也非常簡單了：
。
所以上述歐拉公式還是非常有用的。那麼言歸正傳，如何求解 呢？
這裡我們需要為每一項 補一項
,然後算出來的值取實部就可以了:
,
其中 表示取這個複數的實部。
那麼
上式變成了等比數列求和，且公比 ，所以根據無窮等比數列求和公式
可得
化簡可知
原式= 。
利用上述技巧可以比較快速的推導三角函數中一個著名的公式
下證：
其中Im()表示取複數的虛部。
那麼，原式=
分子分母同時除以
再取虛部，原式 ，得證。
所以對於三角級數的問題，我們都可以採取這種技巧：先補項，藉助歐拉公式，轉化成等比數列求和，最後取實部或者虛部。
其實除了求和，對於型如 或
的積分，我們也可以採取上述方法，畢竟積分也是求和。如：
所以
取虛部可知：
在競賽中這也是常用的求解三角級數和的方法，比較容易入手，對於三角函數的要求不高，不過要看清楚是三角函數「相加」的形式，對於三角函數「相乘」可不能用這種方法求解！
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