---

從我的這篇文章中，我們可以得到一個事實：

因此，

其中，

1`

2`

3`

於是我們有

其中， ,由區間再現公式

而

由

立得

最後，

---

對 稍作變形得 兩端以 為積分變數做從 到 的積分，得

命 代入，得

---

第一步，化簡

其中 是卡塔蘭數

第二步，求解冪級數

求導

同乘

積分

進一步化簡

其中 是卡塔蘭數的生成函數，

將其代入，解之得

再將 帶入得到

從而最終得到

第三步，把 帶入，得到所求為

---

注意到展開 = ,於是考慮f(x)=

f(x)= = =

=

於是原級數=f(1)= =

= =

=2ln2=ln4

---

設 則有 且：

於是：

附：藍色部分的證明

由二項式定理可得：

其中：

因此令 可得

---

在西西的大學生數學競賽輔導題上有 差一個係數的改編題

（最後兩邊同時乘以二即可得出正確答案）

---

推薦閱讀：

相關文章