任意的x∈實數集成立的結論x在趨於無窮時成立嗎嗎?「無窮」與「任意」有什麼聯繫與區別?
1.我這個問題的產生主要是因為我弄不明白對於任意和無窮之間的關係，我在群里問了一下別人說任意是指的在某個集合里任意取，如果這個集合包含無窮，那麼任意x屬於這個集合都成立，此時無窮的情況也成立。如果不包含無窮，那麼任意的情況就不包含無窮，這時候無窮的情況要重新討論。不知道這裡理解的對不對
2.然後我就想到對於x屬於R成立的定理，能說明對於x趨於無窮也成立嗎，經過查資料發現無窮不屬於R，那麼趨於無窮的情況就要重新討論是否成立。比如1/n對於任意的n屬於N＋都大於0，但是n趨於無窮時就不成立了，是否可以理解成無窮的情況是不屬於正整數集的，它需要重新討論。
3.再有一個例子是1/x在（0，1）不一致連續，但是在（0，1）內的任意閉區間一致連續，是否可以理解成（0，1）不屬於閉區間，所以要重新討論結論是否成立。
4.還有一個是用數學歸納法證明，對於任意n屬於N＋成立結論，但是不能隨便推導到無窮的情況使得結論也成立，是不是也是因為無窮不屬於正整數集，因而需要重新討論。
5.另外，n＞0這個集合包含正無窮嗎？
6.（－∞，＋∞）是不是等於R，不包含正負無窮
7.還有就是f(x)＝1－x 對任意x∈（0，1）有f（x）＞0，但x趨於1時f(x)與0的關係是什麼，這個按照任意和極限的關係應該怎麼理解，此時x趨於1是屬於(0，1)這個區間里嗎。當然這個極限是0，這時候x趨於1和任意的x∈(0，1)之間是什麼關係?
我分了7條，解答時候可以按點回答，我哪裡理解有問題可以直接指出來是哪一條出了問題。
希望大家能幫我解決這個問題，謝謝大家
很久沒看到這麼認真的問題描述了。有一個建議是可以去找一本數學分析的書來念一念，看一看極限語言是怎麼發揮作用的。尤其去理解一下兩個參數的依賴性，這也是最困難的
簡單說一下，一般來講數學分析或者說常用的分析學框架下的任意就是你所說的那個意思，在實數集 中一般不會包含無窮遠點，包含的情形也有叫做擴充實數系，如果我們的討論需要無窮遠點或者說一個映射會對應到無窮遠點的話，會專門指出，此時也有記號是
。
但是不管他包不包含，這並不會影響我們討論極限性態，比如在式子 這個過程中，你可以看到其實我們並沒有真的要求
,我們只是說當
充分大之後，會怎麼怎麼樣。甚至對於開區間
，我們也可以自然地去討論在某個函數在兩個端點極限是多少，我們的敘述也是對於任意靠近端點的區間內部的點怎麼怎麼樣。事實上，不藉助極限語言，你根本說不清楚什麼叫
。
回答一下問題：
1. 在不單獨強調的情況下是這樣。但是我們可以考慮極限的情形。
2. 一般不能成立。極限的情形有時會把嚴格大於號變成大於等於號，但是絕不可能變成小於號，上下確界的情形也是一樣的，這一點需要你讀極限語言。
3. 當然不是閉區間，一致連續的性質和緊性有關，這一點也需要你讀實數系基本理論。
4. 數學歸納法不能覆蓋無窮遠點。
5. 一般不包含，需要討論的時候會刻意指出。
6. 7.前面說過了。
最後，不要胡思亂想，打開數學分析，讀書就好了。思而不學則殆。
命題：對於任意的 有
然而對於任意一個 時設
，則對於所有的
有
。因此
，這與前面的命題是矛盾的
舉個例子，y=x2，對於任意實數x，y取非負實數，然而x趨於無窮大時，y趨於無窮大，換句話說limy=∞，所以這個例子是你的問題的一個否定說明了，這是一方面具體的說明。另一方面，x趨於無窮大是一個極限過程，而極限與有限實值函數不同的是，極限可取無窮大，任意x也就是任意給定的一個x，而無窮是一個逼近過程。這就是無窮大和任意的區別了。
數學概念需要自己慢慢掌握，加油吧!
前面 @Eric G 已經給出了非常仔細的回答。我再加一句狗尾續貂的話：如果沒有掌握用 語言嚴格給出的極限概念，就不要使用「無窮大」，「無窮小」這兩個詞。
瀉藥，x趨於無窮，有兩個意思，一個是趨於無窮的數列，另一個是無窮大這個點。
任意x屬於實數則成立的結論，對於趨於無窮的數列的每個點，結論都是成立的。然而對於無窮大這個點來說，不一定成立。
舉個例子，m屬於大於等於1的實數，
f（x）=0 （x＜1-1/m）
f（x）=mx-m+1（1-1/m≤x＜1）
f（x）=1 （x＞1）
顯然，m屬於任何實數，f都是連續函數，然而m趨於無窮的極限對應的f卻不是連續函數。
函數的極限與任意的x關係。解答見下：
其中談到，鏈接見下：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/84604744?zhuanlan.zhihu.com
一般說的實數集不包括∞，有的框架會把無窮看做實數，例如在射影幾何中，只要不破壞這個框架的一致性。無窮這個東西比較費腦子，它的費解之處恰好表現了人的邏輯思維的特徵。只要採取邏輯思維，而不是天馬行空式的意象思維，就一定會面臨「如何理解無窮」這個問題。
打算深入了解這種問題的話，建議去看數學哲學裡面對實無限與潛無限的討論。有的人可能把數學與哲學看作是「不應該有任何關係的」學科，還會諷刺那些在數學討論中引入哲學分析的言論，不過「數學哲學」確實是很嚴肅的，也很深刻，絕不是「數學玄學」。
對任意的實數x，我們有 ，但
嘗試從概念本身出發，在邏輯層面揭示某些可能存在的矛盾。
至於矛盾是否真的存在，見仁見智。矛盾的存在說明定義的嚴謹性。也可以發現不了，也可以選擇性忽略。其實關於無窮大，人們沒搞明白的地方有很多。
且看「無窮大」與「任意大」的定義：
設函數f(x)在x0的某一去心鄰域內有定義（或|x|大於某一正數時有定義）。如果對於任意給定的正數M（無論它多麼大），總存在正數δ（或正數X），只要x適合不等式0&X,即x趨於無窮)，對應的函數值f(x)總滿足不等式|f(x)|&>M，則稱函數f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大。
1、從概念的層面上講
任意大：首先它是一個數，然後它很大
無窮大：比所有的數都大，所以它不能是一個數。(如果它是一個數，就存在＋1，比它自身還大)
可見，「無窮大」與「任意大」並不是一個概念。如果問題這麼簡單，就不必疑問了。真正的疑問是：任意大有多大？是否能等於無窮大？
2、任意大的數的大小可以有多大
任意給定一個正整數m，由「後繼性」可知，必然存在m+1&>m也是一個任意大的數。不妨令其後繼數的通項為f(x)=m+1*x，易知，當x→∞時，f(x)→∞，這不就是上述無窮大的定義嗎？
可見，任意大的數，大到一定程度，其大小就與無窮大無異了。
當然，嚴格地說是趨近於無窮大。這是極限的概念。從極限的角度說，「趨近無窮大」與「無窮大」只相差了一個「無窮小量」。在多數場合下，兩者是等價的。
這不是矛盾嗎？明明「任意大」的數，是一個數，數的定義不允許其「等於」無窮大；而事實上，任意大的結果是可以等於無窮大。沒辦法，涉及到無窮大，很多定義就是這麼矛盾。例如，
3、整數的「位數」必須有限嗎？
反證法：假設一個整數的位數為無窮大，則這個整數的大小為無窮大。即沒有比它還大的數。由於它是一個整數，故存在後繼數+1比它還大。矛盾。故整數的位數不能無窮大。
矛盾多著呢，同樣用反證法，還可以得到完全相反的結論。哪一個對、哪一個錯呢？
反證法：假設整數的位數不能無窮大，則位數必須有限。不妨令其限度為N，根據整數乘10進位法則，必存在一個位數為N+1的整數，這與位數的限度為N矛盾。故整數的位數可以無窮大。
這些矛盾，源自於人們對無窮大認識的局限性。
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