能否構造一組無理數a,b，使得a^b是有理數?
越簡單越好,要求不要用到高等知識
考察 如果這是有理數，直接取
要的例子就構造出來了；如果這是無理數，由於
那麼取
例子也構造出來了。
多給幾種方法:
方法一:
,
.
證明: 是超越數,如果
是有理數,設
,
則 ,與
是超越數矛盾!
評價:本方法雖然很自然,但用到的知識較為複雜,並且高中生不會知道為什麼e是超越數.
方法二(方法一的改進):
,
,
.
證明: 是無理數,如果
是有理數,設
,
則 ,矛盾!
評價:將方法一中部分數進行改進而得,但初中生不會懂得對數的含義,還是不太簡單.
方法三(最佳方法):
- 如果
是有理數,取
即可.
- 如果
是無理數,取
.
此時 .
評價:這種方法看起來很"耍賴",但卻是最簡單巧妙的,中學生也能夠理解.
(但如果這個構造沒有實際意義的話，我認為就是奇技淫巧)
證明
證：假設
設 ，
和
為互素正整數
又
則
顯然 為整數，
又因為 是超越數
所以
矛盾
所以
證畢
而 ,
但是
取a=根2的根2次方，那麼易證a是無理數(?ì _ í?)
b=根2，b也是無理數
a^b=2
要證明a是無理數，我們只要先證明a是超越數，就可以簡單得出a是無理數的結論
關於如何證明a是超越數，就留做本次課程的習題吧
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