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毫不奇怪。

圓面積可以視為一圈一圈的小圓環面積 沿半徑的累積，即

球體積可以視為一層一層的薄球殼體積 沿半徑的累積，即

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如果要從「面積求導是周長，體積求導是表面積」這點來看，

這只是個巧合哦。

為什麼說是巧合呢？你思考這樣一個問題：

我不取半徑為參數，而取直徑為參數，

則圓的面積為 ，周長為 。

很明顯面積求導就不是周長了吧。

這裡我們就能夠看出：

「面積求導是周長，體積求導是表面積」這件事實際上依賴於參數的選取。

我們只是恰好習慣了用半徑作為參數，才會出現這個巧合

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不過我先給你說清楚，為什麼取半徑時候圓會有這個現象，

再給你算一下哪些參數可以做到上面說的巧合。

首先面積的導數就是面積的瞬時變化率，

在半徑從 變到 時，

面積從 變成 ，

所以變化率為

。

恰好在 時和周長相等而已。

其實不涉及什麼深刻的背後原理，僅僅是一個計算上的巧合。

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那麼哪些參數可以做到這個巧合呢？

假設我們任取一個參數 ，

很顯然這個參數與圓之間存在一一對應，圓與半徑之間存在一一對應，

所以存在一個雙射 ，使得 。

出於問題考慮，我們不妨假定 可導。

所以在參數 下，

面積為 ，求導為 ；

周長為 。

而 不可能恆為0，所以二者恆等當且僅當 。

從而得到 ，其中 為任意常數。

這就意味著：

當且僅當我們在選取與半徑只差一個常數的參數時，能做到圓的面積求導後為周長。

而和半徑只差一個給定常數時，那和半徑有啥區別咧，所以大概可以覺得，就只有半徑能做到這點吧。

我們對球做同樣的計算可以得到完全一致的結果~

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當然啦我們再選一個例子你就能更體會到這是個巧合了。

邊長為 的正方形面積為 ，周長為 。

這是我們習慣上的公式，明顯不符合那個求導關係。

我們另選一個參數 ，取可導雙射 使得 。

面積為 ，求導得到 ；

周長為 。

二者相等當且僅當 。

即 ，其中 為任意常數。

如果忽略掉這個常數，那就是我們得選取一個「反習慣」的參數「半邊長」時，

才會有「面積求導是周長」這個巧合。

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當然啦題主可以自行嘗試一下正 邊形或者那五個正多面體，或者長寬比為定值的長方形，給定三個角的三角形，或者一些更加稀奇古怪的圖形。

會發現總會有一個參數，讓我們的周長和麪積之間有這個看似奇妙的關係。

這就讓這個關係一點都不奇妙的了ヽ(′?ω?`)?

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等你到大學，更深入的學習微積分，就知道了。

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樓主有些人認為這是巧合，這容易誤導題主。

其實，這些都有一定的必然性。

你是對圓的半徑求的導數吧？這個導數是什麼含義？就是半徑增加一點後圓面積的變化率。

觀察一下，這個變化，即由於半徑增加一點點後而多出來的部分，是不是就是圓最外圍的細細的一圈呢？

現在我們來計算「細細的一圈」的面積。把它看作一根細繩圈成了一個圓，拉直了，長度就是周長。所以，圓面積的變化率，一定就是周長。

同理，球體積對半徑求導，就是球體積的變化率，正好就是「薄薄的一層」，也就是由於的表面積。

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因為這個代數計算正好符合幾何上的意義，如果從幾何意義出發，即面積是由無數個小圓環組成

從半徑上看，正好是覆蓋了整個半徑的小圓環周長是面積，∫(0,r) 2πrdr=πr2

從直徑上看，則只需要取一半的微元，為∫(0,d) dπdd/2=πd2/4

如果直接對直徑的面積公式求導顯然是錯的，因為幾何意義上說不通，半徑能說得通是因為微元恰巧為dr

空間同理

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