三階導數或更多階有事麼實際含義呢?

一階導數可以表示函數的增減趨勢，二階可以表示變化的變化速率凹凸性質，那麼三階更多階有事麼實際含義呢?

一階：斜率

斜率向上為＋，向下為?，水平為0(極值點)

二階：斜率的變化方向

斜率逆時針旋轉為+，順時針為?，不動為0(拐點)

三階：斜率變化的速度

斜率加速旋轉為+，減速為?，勻速為0

四階：斜率變化的加速度

斜率加速旋轉變化上升為+，下降為?，不變為0

五階：斜率變化加速度的方向

同上，再加一級

六階：斜率變化加速度方向變化的快慢

同上，再再加一級

……以此類推

就是對上一級變化的變化率的變化( ?? ?)

(我是這麼理解的- -)

幾何意義（函數圖像）

一階導：正表增；負表減。

二階導：正表下凸，一階導增，增得越來越快/減得越來越慢；負表上凸，一階導減，增得越來越慢/減得越來越快。

三階及以上的導數，幾何意義太抽象了，大致理解如下：

三階導正，二階導增，下凸越來越厲害，上凸越來越弱；

四階導正，三階導增，下凸增強的速率越來越大。。。

這後面離生活中的幾何直觀太遠了，所以很難理解，就和四維空間或高維空間類似。高階導主要用於純理論分析，如泰勒展開。

物理意義（位移對時間的導數）

物理中，位移對時間的導數，一階導為速度，二階導為加速度，三階導為加加速度/急動度/力變率，四階導為加加加速度/痙攣度。

力變率可以反映人們的舒適程度。加速度/力恆定時，顯然比力變化時更舒適。人們看見速度，感受加速度，厭惡急動度。

四階導及以上就真的很罕見了。

我們成功控制了房價增長過快的趨勢

剛剛數學課pre做了這個題目

自己想了一下

首先是位移對時間的三階導：急動度

急動度並不只單純是一個概念……實際意義是作為評判乘客舒適程度的指標，應用於無人駕駛汽車的速度控制、體育運動員的爆發力測試等方面

其次是物理中平衡點穩定性的判斷，勢能二階導大於0是穩定平衡，二階導的值可以用來求微小擾動下振動頻率等；小於0不穩定平衡

數學上的應用包括但不限於泰勒展開（yyds）、判斷一個多項式是否有重因式

（總感覺忘了什麼……）

謝邀

從簡單的實用意義上來講，總可以將「n階導數是n-1階導數的導數」這樣的概念用起來，一階導數用來研究f(x)了，那怎麼研究f`(x)呢？慢慢遞推下去。又或者是Taylor公式會把一大堆導數拿出來給你看，擺明一個f(x)可以被各階導數逼近成什麼樣。更或者偏技巧性一點，滿足一些條件的話可以得到f在某些點處bulanbula的性質。

單純從數學的角度來看，從A衍生出來的東西不一定都要與A高度相關或者一定要對A有特別深刻的幾何解釋，代數解釋等等之類的作用。n階導數一定在刻畫著f(x)的某一個性質嗎？也許有，但是更有可能會trivial，讓人看都不想看。很多帶n的東西是對某一個單次概念的推廣而已，進而去完整補充一整套理論體系，就比如n次導數是從1次推廣而來，R^n空間是由R^1推廣而來，但絕不能因為個人感受不到R^4的存在而否認R^n的意義。

泰勒展開需要無窮階導數來逼近需要的值