如果允許無限次交，則任何拓撲空間 [公式] 若滿足

  • 任意單點集 [公式] 為閉集 (例如 T1 空間, 更具體地例如有限維歐式空間) ，

則 [公式] 的拓撲為離散拓撲。於是一大類非常有意義的拓撲結構被排除在研究範圍以外了。這樣的定義顯然是不合適的。

雖然拓撲學裡的開集是直接定義出來的，但是定義它畢竟是為了拓展度量空間上的開集和閉集，所以性質上必須要和度量空間上的開集和閉集相容，否則拓撲空間上的結論就沒法用於度量空間了。而在度量空間上已知無限個開集的交集不一定是開集，例如(-1/2^n -1, 1+1/2^n)的交集就是[-1,1]這個閉集，所以拓撲空間上也得照顧下。

要直觀理解拓撲的話最好用極限語言來代替一般的拓撲語言，開集的交集仍然是開集大致上意味著當 [公式] 是 [公式] 的映射，並且滿足 [公式] 時，那麼只要 [公式] 分別連續，那麼 [公式] 就連續。

但是如果開集的無窮交仍然是開集，則意味著當 [公式] 是 [公式] 的映射，並滿足 [公式] 對每個 [公式] 成立時，如果每個 [公式] 分別是連續映射，則 [公式] 是連續映射。其中， [公式] 是由所有 [公式] 函數構成的距離空間，滿足 [公式] .

拓撲是連續性的刻畫，後者並不符合連續性的直觀含義。例如，令 [公式] 並考慮 [公式] ，那麼 [公式] 雖然總是隨著 [公式] 而趨於 [公式] ，但是因為固定 [公式] 並使得 [公式] 是有理數時總能找到充分大的 [公式] 使得 [公式] 足夠接 [公式] ，因此 [公式] ，不連續。

開集的實質是，集合的每個點都是內點，不存在邊界點，無限次交的風險在於使得某些點成了邊界點。

開集的3個公理確實缺乏一些比較直觀的動機。不過我們可以從另一個更直接的角度來定義拓撲：鄰域。直觀上，一個點的鄰域需要包含所有和這個點非常接近的點。接下來把這個直觀的感受用更嚴格的語言描述出來。

對一個集合 [公式] ，我們用以下方式來描述 [公式] 上的一個拓撲。

對每個 [公式] ，指定一個集合系 [公式] ， [公式] 中的元素都是 [公式] 的包含 [公式] 的子集。 我們將 [公式] 中的元素叫做 [公式] 的鄰域。鄰域需要滿足以下幾個條件：

  • 對任意的 [公式] ，有 [公式] 。即每個點都有鄰域。
  • 對任意的 [公式] 以及 [公式] ，有 [公式] 。即兩個鄰域的交也是鄰域。
  • 對任意的 [公式] 以及 [公式] ，如果 [公式] ，則 [公式] 。即包含某個鄰域的集合也是鄰域。

以上3條都是非常符合常識的，但它們都只描述了某一個特定的點處的鄰域的性質。直觀上，如果 [公式] 是 [公式] 的一個鄰域，並且 [公式] 和 [公式] 非常接近，那麼 [公式] 也應該是 [公式] 的鄰域。換句話說，如果 [公式] 是 [公式] 的鄰域，那麼以 [公式] 為鄰域的點應當包含了所有和 [公式] 非常接近的點。將這一想法嚴格化，可以得到鄰域的最後一個條件：

  • 對任意的 [公式] 以及 [公式] ，令 [公式] ，則 [公式] 。

之後我們可以用鄰域定義出開集：

對於 [公式] ， [公式] 被稱為開集，如果 [公式] 是它裡面所有點的鄰域。

在這個定義下，不難驗證：

  • [公式] 是開集。
  • 兩個開集的交是開集。
  • 任意多個開集的並是開集。

這裡我們回顧一下用開集定義鄰域的方式：

對於 [公式] 以及 [公式] ， [公式] 被稱為 [公式] 的鄰域，如果存在開集 [公式] ，使得 [公式] 。

有趣的是，如果我們用鄰域定義出來的開集再返回去定義鄰域，那麼得到的還是原來那些鄰域。另一方面，如果我們先用開集定義拓撲，再用開集定義出的鄰域返回去定義開集，那麼得到的還是原來那些開集。這就說明，用開集來描述拓撲和用鄰域來描述拓撲是等價的。雖然開集的公理不如鄰域的公理直觀，但開集的公理比鄰域的公理更簡潔。

再回到題主的問題。我們不要求開集的任意交是開集，主要是因為沒有要求鄰域的任意交是鄰域。而這是符合直觀的，在歐式空間裏，任意多鄰域的交可以是一個點，但我們不認為歐式空間中的一個點是它自己的鄰域。而開集的任意並是開集，主要是因為包含了某個鄰域的集合也是鄰域。這也是很符合直觀的。

源於開區間的有限交是開區間或空集，且存在一列開區間的交是閉區間。

我們最早學習的數學知識都是基於歐式空間的，但很多現代數學分支的研究範圍已經突破了歐式空間的範圍。拓撲學作為很多數學分支的基礎，必須要研究更為一般的空間，由此便產生了拓撲空間的概念。換句話說，歐式空間是拓撲空間的特例，拓撲空間需要繼承歐式空間一些最基本的性質。

開集是拓撲空間最基礎的定義之一，歐式空間中的開集就是空集、全集和至多可數個開區間的並。

由於無數個開集的交集不一定是開集，例如： 開區間族[公式] 的交集是 [公式] ，是閉集，所以為了繼承歐式空間的性質，開集不能取無限次交。

假如說開集無限次交都是開集，考慮度量空間 [公式] 上的集合

[公式]

那麼這個集合在度量空間意義下是非開的，但是在度量拓撲意義下是開的

因為歐氏空間中的開集只在有限交下封閉。我們定義拓撲是為了把開集的性質抽象出來作為公理的，既然如此在具體的情況下當然也要滿足啊。定義數學概念是有動機的，而不是符號遊戲

也不是什麼定義的事，主要是還得存在一個開領域在交集裏，如果無限次交開領域的半徑就不能保證大於零。

有限次開集的交無法改變拓撲屬性，無限次開集的交可以改變拓撲屬性。

無限infinity，可以當作一個維度來使用，如：0.999……=1。

因為你說的這玩意兒叫做

Alexandrov topology?

en.m.wikipedia.org

至於為什麼一般的點集拓撲教材都不提它，是因為

無限交意味著元素要與無限個集合進行判定。而無限是思維上永遠達不到的，理論上要儘力避開它。

一些定義上不這麼做就會導致的inconsistence也都有人答過了，我就悄悄地提一嘴之前學的時候的直觀感受吧(

個人感覺這麼定義的動機比較像極限epsilon-delta語言中的那個epsilon。連續映射中開集的inverse也是開集，「任意有限交」對應任意delta&>0，確保了整體性質的刻畫。

而無限交並沒有有限交那麼遵循直覺，似乎是多了一個類似於「取極限」的過程而導致一些原有的性質不再保持，所以是一個更強的條件。這部分我覺得上面一位用neighbourhood來詮釋的答主比我準確多了hhh。

望dalao指教（

這不是定義,這是定理吧.

我來答個簡單易懂的例子…考慮open balls B(a, 1/n)的交集，n是所有正整數…交完就只剩a這個點了不是開集

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