本節是非線性泛函分析導論的完結篇。既然是導論，在深度上就有所控制。我們的拓撲工具僅僅限於形變定理的最簡單形式以及拓撲度理論中最簡單的部分。在變分學中，更為現代的處理方法是藉助代數拓撲的同調羣這一工具來判斷泛函臨界點的存在性。但更現代的處理方法也是建立在樸素思想（拓撲形變）之上的，大體說來：

對於兩個泛函的水平集（注意泛函是定義在函數空間上的，因此泛函的水平集均為無限維流形，我們稱為Banach流形，即使是在純數學領域，遇到的Banach流形大都也都是可以賦予Finsler結構的，因此成為Banach-Finsler流形），我們可以判斷它們的同調羣是否同構來判斷它們是否同倫等價。基於形變定理，如果兩個水平集不是同倫等價的，則其中必存在臨界點（臨界點會導致泛函水平集的拓撲畸變），那麼對應的非線性偏微分方程必有（弱）解。

上節我們已經簡要說明瞭形變定理的幾何思想，介紹了映射度，並利用這一最簡單的拓撲學武器演示瞭如何證明兩個流形是環繞的。我們介紹了一個非常抽象的定理：環繞定理。因為這個定理過於「一般化」，比較難以駕馭，所以我們指出了它的一個特例：山路定理。可以這麼認為，環繞定理是山路定理的推廣形式。

這一節我們正式介紹形變定理，並利用它證明環繞定理的抽象化形式：MinMax原理。

利用泛函水平集（水平流形）的「流動」（下降流），考察其拓撲性質的變化，是我們研究光滑泛函臨界點的重要手段之一，這在上篇文章已經給出了直觀的說明。

來自遠方的飄泊客：非線性泛函分析導論（二）：變分問題的拓撲結構

我們重述山路定理：

這個定理的幾何直觀也已經在上篇文章中表述。

下面我們使用「形變」這一極為樸素的拓撲思想證明極小極大原理。

我們可以在這短短的證明中一窺形變定理的標準使用方法——反證法。

最後我們列舉幾個例子，總結我們介紹的定理在非線性偏微分方程中的應用。

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