稍微延申一下高贊的回答。

現代意義下的代數很多時候是用範疇的語言來描述的，代數上的幾乎所有信息都被範疇中的morphisms描述。拓撲不僅可以定義在空間上，還可以定義在範疇上，這個時候叫Grothendieck拓撲，當範疇中的morphisms都是代數信息的時候，姑且也可以算是代數決定的「拓撲」。給定一個Grothendieck拓撲就是給定範疇中的一些被稱為開覆蓋的態射，使得它們滿足一定的條件。

假設 [公式] 是給定的概型，範疇 [公式] 是所有over [公式] 的概型組成的範疇，於是這個範疇上所有的open immersions是一個滿足拓撲公理的一族態射，它們組成範疇 [公式]的Zariski拓撲。範疇 [公式]中所有的etale morphisms也滿足拓撲公理，這個稱為etale拓撲，類似的我們還有smooth topology, fppf topology, fpqc topology......

謝邀。

由affine variety引出的Zariski topology就是一個例子。 [公式] 中的affine variety最簡單的定義為 [公式] 元多項式的公共零點，在Euclidean topology之下affine variety可以證明是closed set，並且affine variety的有限並和任意交都仍然是affine variety，所以如果把每一個affine variety的補集作為開集，構成的拓撲就是Zariski topology，並且 Zariski topology的開集在Euclidean topology裏仍然是開集。

由於一個affine variety [公式] 上的點和它的coordinate ring [公式] 的maximal ideal存在對應，在 [公式] 的maximal spectrum（所有maximal ideal的集合）上可以誘導出一個topology. 一個簡單的理解是取 [公式] 中的某個ideal，然後把 [公式] 中包含這個ideal的元素組成的子集定義為閉集。這樣的拓撲也叫Zariski topology.

任意一個交換環 [公式] 的spectrum [公式] （定義為這個環的所有prime ideal組成的集合）上也可以用類似方式導出一個(Zariski) topology。大致來講，一個環的spectrum加上上面的Zariski topology就是一個affine scheme.

Richard 先生的答案給出了仿射概形，這是代數幾何裏最基本的概念. 我們來說說 [公式]-adic拓撲環吧，這是代數數論裏最基本的概念.

令 [公式] 為交換環. 給定理想 [公式] ，於是 [公式] 構成 [公式] 在 [公式] 處的一個過濾, 由此它可以當作[公式] 在 [公式] 處的一個的開鄰域基. 我們稱 [公式] 的這個拓撲為 [公式]-adic 拓撲.

標準的例子是 [公式] 而 [公式] , 這個拓撲稱為整數環的 [公式] -adic 拓撲，它不是完備的，我們構造它的完備化 [公式] , 它是完備 [公式] 的，稱為[公式] -adic 整數環.

進階一點， [公式]-adic拓撲環被Huber推廣為了Huber環，這是Adic空間，Perfectoid space等現代理論的開端。Peter Scholze 提出了Perfectoid space理論，並在動機理論和朗蘭茲綱領上有傑出貢獻，因此他於2018年獲得菲爾茲獎.

Galois group with Krull topology或者profinite group都是

Affine space with Zariski topology或者環的素譜

說實話，實數的Euclidean topology其實也是作為ordered field的序關係得到的序拓撲

所以這麼看來，舉出完全和代數無關的拓撲反而有點意思

扎里斯基拓撲

分次模上有自然的拓撲結構，你可以在任何一本交換代數教材中找到。

有啊，拓撲羣（topological group）嘛。

我們知道羣上有一個運算 ·：G imes G
ightarrow G，拓撲羣的拓撲就是讓這個運算（在乘積拓撲意義下）和求逆運算-1: G
ightarrow G都連續的最弱的拓撲結構。

以我對拓撲粗淺的理解來看應該有

Filtration（中文應該叫「濾」吧）：

給定一個羣G，那麼G的一個正規子羣降鏈{G_i}可以誘導出G上的一個拓撲。事實上，定義每個點g（G的一個元素）的鄰域係為它在每個正規子羣上的陪集{gG_i}，那麼這樣就能給出G上的一個拓撲（驗證）。

在交換代數裏，我們直接是設G是一個Abel羣，運算用加法，g的鄰域系寫成{g + G_i}。然後我們在環和模的範疇上也可以定義同樣的結構，例如環上是用理想降鏈來誘導拓撲的。其中有一類特殊的拓撲，是固定一個理想I，以理想鏈{I^n}誘導出來的拓撲，叫作I-adic拓撲（大概是翻譯成「I-進位」吧）。

這樣一種拓撲在交換代數、代數數論以及代數幾何這些相關學科裡面是很常見的。它有幾何上的解釋，也在純代數理論裡面起到了很大的作用。

只要有代數運算，就有一個讓這些運算連續的最弱的拓撲。

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