繼對角線證法和區間套證法(https://zhuanlan.zhihu.com/p/51203067)之後, 我又讀到了一個實數集不可數的證明. 這個證明有點"高射炮打蚊子"的感覺, 讀起來挺酷的, 而且也是繼組合(對角線證法), 分析(區間套證法), 之後的又一個證明, 用到了初等拓撲學的內容.

所需的知識點如下:

定義: 令 為一個拓撲空間, 我們稱子集 為稠密(dense), 當且僅當 的closure為 . 更一般地, 對於子集 , 我們稱 在 中稠密, 當且僅當對於每個非空開集 , 如果 , 則 . 例: 有理數集在實數集中稠密.

定義: 是無處稠密(nowhere dense), 當且僅當對於每個非空開集 , 我們都有 不在 中稠密.

命題: 是dense open, 當且僅當 是closed nowhere dense.

定義: 是meager的(不知道中文是啥, 貧集? 瘦集? 薄集?), 當且僅當 是可數個無處稠密集的並集.

定義: 一個拓撲空間 是Baire空間, 當且僅當其中可數個稠密開集的交集也是稠密的.

Baire綱定理(Baire Category Theorem)是如下表述:

每一個complete metric space都是一個Baire space.

同時recall: 實數集(加上它的order topology)是一個complete metric space. 也就是說, 實數集是一個Baire空間.

我們想要證明: 實數集 不可數. 為了證明這個命題, 我們需要一個引理:

引理: 如果 為非空開集, 那麼 則不是meager的.

證明: 令 為非空開集, 並且假設 是meager的, 我們將推導出矛盾. 因為我們假設了 為meager, 不妨將 寫作 , 在此處代表自然數集. 根據meager的定義, 其中每一個 都是nowhere dense. (感謝評論區@小清新 指出的一處不嚴謹的地方, 這裡的 不一定是閉集. 但我們不妨將 替換為它們的closure,並且注意到無處稠密集的closure仍然是無處稠密. 此外, 我們將接下來的" "替換為" "). 此時根據文章開頭的一個命題, 每一個 都是某個稠密開集 的補集. 也就是說, . 此時, 根據Baire綱定理, 為稠密集. 又因 為非空開集, 則根據定義, . 但 , 所以得到矛盾, 引理得證.

我們現在可以證明命題: 實數集 不可數.

證明: 首先我們留意對於每一個實數 , 它的單點集 都是無處稠密(nowhere dense)的. 此時我們假設 可數, 即 ( 是可數個單點集的並集). 由於每一個單點集都是無處稠密, 根據定義我們可知 是meager的. 根據上面的引理, 我們可知 不可能是非空開集. 這個結果與開集的定義矛盾, 所以我們的命題得證.

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