為什麼由 0 和 1 形成的無窮序列的集合是不可數的？
一個序列由無窮多個 0 和 1 組成，比如 0 0 0 1 0 1 … 為一個序列，這樣的序列有無窮多個。由這些序列形成的集合的大小，一般書上分析學的書上都是說不可數。但是這個集合的元素其實可以和自然數形成一對一映射的，比如 …0001 表示 1，…0010 表示 2（此處 … 表示無窮多個 0），以此類推下去，不就是和自然數的一對一映射麼。如果能和自然數形成一對一映射，豈不就是可數的麼？
題主沒有正確理解二進位表達和一一映射的關係
給定一個自然數，當然能以其二進位表達寫成一個無限的01序列，但反之不然
如果按題主的理解，定義序列中的第n位代表,映射關係是求和，那麼顯然這個級數只在序列中的1有限時收斂，因此這不是一個有效定義的映射
不可數。
1、先說這種分析錯在哪。
這個序列是無窮序列，你用二進位來對應，而二進位表示是有窮的序列，所以這樣搞是不對的；2、現在來反證，假設是可數的，那麼這個01序列可以與自然數集一一對應，亦即可以排成一列，如下
排成一列後，不論怎麼排，總可以找到一個0和1形成的無窮序列，使得這個序列不是上面排出來的任何一個。矛盾。
此答案為嚴格的構造證明。手機打字，無法Mathjax。
Theorem：取A作為一類序列的集合。這類序列是由無窮個0，1構成的序列，那麼A集合不可數。Proof：令E為A的一個可數集合，那麼它的每一個元素都是一個序列，設為s1，s2... 我們現在構造一個s。用如下方法：若sn為的第n個元素為1，則s取0；若sn的第n元素為0則s取1.這樣構造的s一定和任何E中的序列均不同，則s屬於A且E是A的真子集。因為E是任意的可數集合，則A必定不可數。寄語：好好多看分析教材，紮實掌握概念。
reference：principles of mathematical analysis，Rudin，3rd edition第一位固定，其後為無窮可以定義，最後一位固定，之前為無窮無法定義
很簡單啊，你把實數表達轉化為二進位的，這樣每個數都有相應的二進位表達對應一個二進位序列，結果就很清楚了
任意自然數的二進位表達方式必然含有有限個1而無窮長的01序列可以含有無限個1舉個最簡單的例子，0101010101...這個序列是對應不到自然數上面的如果要做11映射，那麼無窮長的01序列明顯對應的是[0,1]這個閉集，而這個閉集是不可數的
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