自然數為什麼無限多？

如題，因為自然數集只包含有限大數，所以定義一個有限集合：B={X|【0，X】有限}
該有限集合為在包涵X時包涵X，且包涵0，符合歸納公理。
該集合為【0，X】，【0，X+1】，【0，X+2】……一系列有限集合的並集。
然該系列集合的並在X時屬於該系列集合，則在X時屬於該系列集合，因此並就屬於該系列集合。
（命題：P（X）=X+1函數，從X=0其，每一次自映射都產生了一個自然數集內的元素，自然數集內的所有元素都由該自映射產出可證。

同時因為自然數有無數個，所以該函數需要自映射無數次才能產出所有自然數。而在自映射至少無數次只後，有一個數為P（……（X）……），該數無窮大。）
（有答主說了【至於題主給出的有限性證明是數學歸納法的常見謬誤之一。一個命題對P(0)成立，且當P(x)成立時P(x+1)也成立，並不代表P(∞)成立。】
但是如果自然數集不包括∞！題主給出的命題不需要對P（∞）成立！！！）

無上限一定無限。反證。如果不無限的話，那就有有限多個自然數，直接取有限多個自然數的最大值，這個最大值就是上限……

至於題主給出的有限性證明是數學歸納法的常見謬誤之一。一個命題對P(0)成立，且當P(x)成立時P(x+1)也成立，並不代表P(∞)成立。

舉例，P為存在0到x的元素y，滿足y+1不在0到x中。

這個命題滿足數學歸納法的所有條件，因此對所有自然數都成立。然而它對無窮並不成立。因為當x是無窮的時候0到x之間的數就是全體自然數。自然數加1還是自然數，不可能在自然數之外。

答主一上來就錯了。答主說「因為自然數集只包含有限大數，所以定義一個有限集合：B={X|【0，X】有限」。這個推理就不成立，B就不是一個有限集！

孫偉分析基礎習題 2.1.1.

本題是關於運用數學歸納法的一個常見錯誤。

我們這裡不加證明的引用下面事實：若 A 和 B 都是有限集，則 A ∪ B 也是有限集。下面的論述錯在哪裡？

「首先，空集是有限集。如果所有包含 n 個元素的集合是有限集，則包含 n + 1 個元素的集合可以寫為一個包含 n 個元素的集合和另一個只包含一個元素的集合之並。根據不加證明引用的事實，我們知道任意 n + 1個元素的集合是有限集。從而根據數學歸納法（換言之，根據Peano 公理中的歸納公理），自然數集 N 是有限集。」

這就是 @雲山亂提到的那個例子。題主搞明白這個題錯在哪裡先。

另，你的論述中涉及到了自然數集的概念。自然數集和自然數不是一回事，儘管自然語言我們經常將兩者混為一談。既然你說到了自然數集，那總要知道集是什麼吧？所以你得引進集合論的公理，然後再來定義什麼是無限集，再來研究無限集是否存在。實際上，自然數集作為一個無限集而存在，是ZFC公理集合論中的無窮公理保證的。不過也有不用無窮公理的，參見集合論中的每條公理是用來幹嘛的？

題主你的問題描述也不清晰，比如什麼是【0，X】？恕我無知，我沒有見過黑括弧這樣的符號。引入新符號你得給出定義，不然誰知道你指的是啥？

學而不思則罔，思而不學則殆。 @shc 已經給答主推薦了很好的材料，你學瞭如果還有疑惑再來糾結不遲（實際上你看會了疑惑自然就解開了）。

自然數大小當然是有限的。。。但這樣也不能說自然數集是有限的。自然數作為從現實生活中抽象來的，按照我們的直觀當然覺得他是無限的，這一直觀也是來自於現實中的計數。也就是1+1=2，2+1=3………這樣我們好像可以構造任意一個自然數。但是僅僅憑這裡我們仍然沒有搞清楚自然數到底是什麼，所以我們得給自然數下一個定義，使得它即能符合我們的直觀感受，又能在邏輯上自洽。目前是用公理化的方法來定義的，也就是peano公理。所以自然數是無限的這不必證明，就像總有人想著證明1+1=2那樣。你大可當做公理來使用就可以了

無上限意思是沒有最大值,無法窮盡枚舉值.1,2,3.如果可以窮盡到x.當x最大時,x+1,x+2沒有意義了.如果x不是一個確定值,x+1,x+2也不確定了.所以沒有 -&>上限(可窮舉),也不能 -&>無限大(不確定)

我覺得題主對有限和無限的定義理解可能有一些偏差。

事實上，如果不採用非標準分析的公理體系的話，「無限大」並不是一個確定的數，他描述的只是和有限相反的一個狀態。

我們首先從直覺上想，什麼叫有限，什麼叫無限？有限有兩種理解方式：一種是「終會停止」的過程，還有一種是，總存在一個比它更大的數。因此，我們對有限集合應當如下定義：若存在確定的自然數N，使得集合和{1，2，…N｝可以建立一一對應關係，那我們就稱集合是有限的；否則，就說這個集合是無限的。

從這個定義看來，你的問題事實上就不存在了。

沒有為什麼，因為它就是無限的。

自然數定義：作一數軸x，取一原點0，以任意有限長線段a為定長單位在x數軸上以原點為起點依次標識a長，得到一系列點。x數軸上的點為自然數。

因為x數軸從原點的正方向為無限，所以理論上可標識無限個a長的點。

所以自然數無限。

建議百度實數集的Archimedes性質.

您要是覺得「自然數大小無上限」和「自然數無限多」和「自然數集大小無限」不是一個意思，那就不是一個意思吧，無所謂的。

先說結論：自然數集是無限集的原因來自於皮亞諾公理和鴿巢原理。

現代意義上的自然數指集合論中的自然數集，自然數集由皮亞諾算數公理定義，皮亞諾公理內容如下：

1.0是自然數

2.每個確定的自然數a，都有唯一確定的後繼數a，a也是自然數

以上兩條公理存在不嚴謹：考慮只有兩個數的集合{0，1}，定義0的後繼數是1，1的後繼數是0，那麼他滿足上面兩條公理，但他不是我們想要的自然數系。因此補充公理如下：

3.0不是任何自然數的後繼數

但是該公理體系仍然沒有嚴謹定義自然數系。仍然以上面的{0，1}為例，約定1的後繼數是1（這是符合後繼數的定義的），0的後繼數也是1。那麼他同樣滿足三條公理。因此要對公理進一步完善。

4.每個不同的自然數有不同的後繼數。

至此已經可以證明，自然數集是無限集了。為了完成證明，先引入鴿巢原理（抽屜原理）：

鴿巢原理（抽屜原理）：

把多於n+1個的物體放到n個抽屜裏，則至少有一個抽屜裏的東西不少於兩件。

下面用反證法證明自然數集是無限集。

證明：假設自然數集是有限集，設其中有n個元素。由集合的性質可知n個元素各不相同。根據皮亞諾公理1和3，可知0在自然數集中，且0不是任何自然數的後繼數。現在有n個自然數和n-1個可作為後繼數的自然數，由皮亞諾公理2和鴿巢原理（抽屜原理），必有兩個自然數有相同的後繼數，與皮亞諾公理4矛盾，因此自然數集是無限集。Q.E.D.

至此，已經解決答主的問題。

但是，自然數集仍然沒有被良好的定義。在四條皮亞諾公理的限制下，0.1，pi這樣的分數和無理數仍然可以在自然數集中。因此補充公理如下：

5.設V是自然數集N的子集，如果V滿足

（1）0屬於V

（2）設a屬於V，有a（a的後繼數）屬於V

則規定此時V=N

第五條皮亞諾公理又叫歸納公理，是數學歸納法成立的本質。