現代邏輯學發展到什麼程度了？

現代物理學/數學的發展，顛覆了人類許多固有的認知，完全超越了人類的直覺，比如數學上連續但處處不可導的函數、量子物理等
但為什麼邏輯學，感覺還是最原始的「直覺邏輯」呢？本人也在大學學習過symbolic logic, 課本是Language, Proof and Logic (Dave Barker - Plummer)，但感覺只是形式更加嚴謹，核心內容依然是我們熟悉的邏輯學，都是符合直覺的，有種換湯不換藥的感覺？感覺不像是21世紀的東西？？
在哲學/邏輯學裡，induction problem（火雞問題）研究了很久，依然無解。
數學上，三段論/反證法都是很早以前的東西了，現代的數理邏輯，都在研究什麼呢？有什麼進展嗎？比如讀21世紀數學paper的時候，發現現在的數學，和高斯那個年代的數學，證明邏輯（結構）是差不多？似乎沒有用到什麼新邏輯？
比如反證法/數學歸納法的使用，應該算是革命性的一步，但現在的證明方法，也是只有「直接證明/反證法/數學歸納法」這三種，但這三種方法古代就有了。。。

ps. 本人是真心提問，不是來知乎指點江山的，也不是邏輯學專業的（希望各位能放寬點要求），我是數學系的（不是民科）

問題描述比較模糊，鑒於題主說學過三段論，也說學過符號邏輯，那麼你就應該明白，符號邏輯與三段論具有巨大差異，你簡單一句只是形式更嚴謹，只能說你不了解這一領域。

我個人推測，你符號邏輯可能不會學到完全性定理，因為學到那裡，基本上就知道符號邏輯向後發展基本方向，貼近數學與代數的模型論研究，貼近推理及符號結構的證明論，偏理論計算理論的遞歸，以及數學基礎方面的集合論。（又或者你的老師沒說下去或者你沒看下去）

現代發展除了重點偏數學方向的，還有理論化常見的認識論、知識論方面的模態邏輯，如時態邏輯、道義邏輯。研究方法除了添加方塊，還有代數方法、鄰域語義去研究模態邏輯。

偏哲學一點，還有邏輯上的真理論，形式化真理論，如緊縮論、修正理論。

應用方面，有歸納方面，論證結構理論，模型檢測等。

題主主要學習三段論、符號邏輯，你可能只研究到「你認為的」基本日常生活使用的推理使用部分。

現代邏輯發展可能分支多到數不清，但基本上都會包括以下至少一點，對推理的結構分析，對推理語義、效用的分析。

Q1:為什麼邏輯學，感覺還是最原始的「直覺邏輯」呢？

原因可能是你沒有深入學習與了解過邏輯。

首先想指出的是，「最原始的邏輯」並不是你所謂的「直覺邏輯」，最早的邏輯一般現在的教材都從亞里士多德的三段論講起，但在東方更早些的時候，古印度有因明學，古中國有墨子的「墨辯」。

而直覺主義邏輯出現於20世紀，源自直覺主義數學，後者將數學視為人類的一種構造物，而邏輯是數學的一部分，這和邏輯主義學派將邏輯視作數學的基礎不同。直覺主義邏輯開創者之一是Brouwer，之後還有Heyting(和Brouwer以及Kolmogorov提出了BHK釋義)，Gentzen(自然演繹提出者)，同倫類型論的倡導者Martin-L?f，哲學領域有英國哲學家Dummett，瑞典邏輯學家Prawitz和他的學生Cozzo，等等。

Q2:感覺只是形式更加嚴謹，核心內容依然是我們熟悉的邏輯學，都是符合直覺的，有種換湯不換藥的感覺？

邏輯本來就是對自然語言的形式化和數學化處理，最初只將命題整體作為演算符號，到弗雷格的一階邏輯時加入量詞，並將謂詞也符號化，這樣我們就可以刻畫命題的內部結構，再到Lewis、Kripke等發展出模態邏輯時，命題的可能性與必然性得到刻畫，並被形式化為模態運算元，以至於到現在還出現了epistemic logic、doxastic logic、temporal logic等等，命題的更多模態得到了形式化，但與此同時，相比於古典邏輯，由於自然語言被形式化的部分過多，這些新興的邏輯系統在運用中顯得過於weak，因此大多隻被當作古典邏輯的補充。

我不是很理解你所謂的「形式更加嚴謹」是什麼意思，事實上新發展出的邏輯遠沒有古典邏輯形式嚴謹，比如Hintikka的epistemic logic就被Nozick等許多哲學家批評過其定理。我也不是很明白你所謂的「作為核心內容的邏輯學」是什麼，似乎在你看來邏輯存在一種作為本質的東西？很抱歉，對此我持否定態度，我更認同Aaron Cotnoir的「邏輯虛無主義」觀點，即當我們看到當今存在的各種各樣的邏輯系統時，我們只會得出結論：根本不存在「邏輯」這種東西，因為這些紛繁複雜的邏輯系統並不存在一個作為其本質的交集，而在我看來，更多的是一種家族相似性。

然後，我不是很懂你所謂的「符合直覺」是什麼意思。任何邏輯系統的建構都是邏輯學家認真思考和反覆驗證定理的基礎上推導出來的，邏輯學的邏輯嚴格性不會比數學更低只會更高，因而一般不會訴諸直覺。如果你認為它僅僅是符合直覺，有可能是因為你在訴諸直覺，而不是事物本身。

Q3:邏輯學裡，induction problem（火雞問題）研究了很久，依然無解。

歸納推理是否屬於邏輯都還存在爭論。比如Harman就寫過一本《Change in View》，認為演繹推理符合邏輯後果，而歸納推理不符合，因為它否定了推理的前提，而邏輯推理是不否定前提，且嚴格根據前提得出結論的。因此Harman提出將歸納推理視為Reasoning，將演繹推理視為Argument，只有後者才符合邏輯後果(Logical consequence)。

也有將歸納推理納入邏輯的哲學家，他們認為存在著Inductive logic，並與貝葉斯統計和概率論結合，試圖將「歸納邏輯」形式化，但更具體的研究我也不是很清楚。

Q4:三段論/反證法都是很早以前的東西了，現代的數理邏輯，都在研究什麼呢？有什麼進展嗎？比如讀21世紀數學paper的時候，發現現在的數學，和高斯那個年代的數學，證明邏輯（結構）是差不多？似乎沒有用到什麼新邏輯？

你犯了一個錯誤：將「證明」等同於「邏輯」。證明更多是邏輯的應用，你在數學證明中應用的基本都是古典邏輯里的一階邏輯，二階及以上基本都用不到，更複雜的模態邏輯就更別提了。但是你沒有用到新發展的邏輯，不代表它們不存在。

現在的數理邏輯，據我所知，仍然聚焦於集合論的研究，一階邏輯則聚焦於量詞、邏輯表達式等，在我看來更多的是小修小補的完善性工作。但數理邏輯也僅僅是邏輯研究的一個小小的分支，仍然屬於古典邏輯這一塊。除此之外，在直覺邏輯領域，同倫類型論和範疇論最近很熱；在模態邏輯領域，epistemic logic和temporal logic的研究成果相對豐富；在研究邏輯悖論，如Lair paradox、vagueness之類的，paraconsistent logic、many-valued logic也被提出，用於解決古典邏輯無法解決的問題。

數學的邏輯，或者說邏輯一元論者認為的真正的邏輯，就是帶等詞的一階邏輯（最狹義上的數理邏輯），這個邏輯的有效式不多不少永遠都是那些，所以古代用反證法，現代依然用反證法，基本的常用的邏輯規律自始至終就是那些，不會隨著時間的推移，邏輯學的發展而增加。這個邏輯在1930年哥德爾完全性定理證明完成後就已經成熟了，當然不是21世紀的東西#滑稽

現代邏輯和古代邏輯相比，正如題主所說更加嚴格、精確，但這不是全部。這套可計算的符號化語言表達力比亞里士多德的詞項邏輯和布爾代數要強，可以表達全部數學。更為重要的是現代邏輯可以清楚的定義什麼是證明，並且能證明形式化方法的局限性在哪裡。哥德爾不完全性定理，塔斯基真不可定義性定理，丘奇圖靈不可判定性定理就指出了形式化方法的局限。

1931年哥德爾不完全性定理證明以後，邏輯學的歷史就少有人講得清楚了（至少關於這方面的史書很少很少，有哪位大神知道麻煩推薦一下）。大體上沿著證明論（研究語法），模型論（研究語義），公理集合論（研究與數學基礎有關的一階理論的模型），遞歸論（研究可計算性），非經典邏輯（對數理邏輯的擴展與修正），非形式邏輯（對形式化方法反叛的新道路）這幾個分支發展。至於最前沿的東西進展到什麼程度，我覺得這個至少得邀請個博士來才講得清楚，我這種渣渣水平是答不了的。

注意「直覺邏輯」（intuitionistic logic）是一種比經典邏輯更精細的邏輯，去掉了排中律。

直接證明/反證法/數學歸納法這三種方法完全不是一個層次的，就好像是說「為什麼現在吃飯還是只有用手抓和用盤子裝兩種方法」一樣。數學歸納法可以說是自然數的二階邏輯性質（如果沒有的話，一定會存在非標準自然數模型），或者說是歸納類型的消去法則；而反證法是經典邏輯的性質。

題主說學過符號邏輯，那麼請問是否思考過邏輯系統的一些性質？比如，沒有任何公理的情況下，是否能推出矛盾？是否存在一個生成任何真命題的（形式）證明的演算法？對於謂詞邏輯還是這樣嗎？再者，對Modal logic有沒有了解？BHK-interpretation呢？是否思考過「證明」是什麼，需要滿足什麼性質？

不過上面那些似乎也有些年代感了（應該都是90年代以前的東西？）。

如果是沿著直覺主義邏輯（intuitionistic logic）的發展路徑來說的話，目前是同倫類型論。科普的話可以看Gilles Dowek《計算進化史：改變數學的命運》，介紹了同倫類型論之前的進展。

說明題主大學沒有好好聽課，或者題主大學教的東西和現在用的東西有巨大出入，要麼就是只接觸了最最基礎的命題邏輯。

三段論僅僅是一階邏輯（甚至命題邏輯也）可以刻畫的所有推理之中的一小部分，弗雷格的量詞系統讓符號邏輯可以表達的東西遠不止「all A are B」和「some A are B」這幾種，更不要說「以三段論為核心」了——弗雷格的整本《算數基礎》的核心公理（也是最為人知的）「basic law V」就是一個完全不能以三段論的形式刻畫的例子，而《算數基礎》的第一卷早在1893年就已經出版。

除了量詞運算元之外，lewis也於1918年在他的《A survey of symbolic logic》裡面引入了strict implication算符，各種模態運算元也由此誕生，其功能比三段論要大十萬甚至九萬倍，為何題主會有「邏輯學還是最原始的三段論」這種毫無根據的認知，我暫且蒙在鼓裡。

至於歸納問題，本人完全不懂，但是sep隨手一搜有這麼困難嗎？我建議題主熟讀弗雷格聖經一萬遍完成大腦升級，再「問問題」。

以上為原答案。

我雖不懂現代邏輯學的研究具體是如何的，但是鑒於題主對邏輯學知識的匱乏，我不認為我可以給題主解釋一百年前的邏輯學的發展程度，因為題主對邏輯學的誤解多於知識。我認為題主想要弄明白這個問題最需要的是學習基礎的邏輯學知識，而不是到知乎問。

另外，你說的那個「直覺邏輯」是一個專有名詞，是一種和kripke的S4同構的非經典系統。

題主讓人放寬要求，但如果你真的自知完全不懂那為何要給那一堆指點江山的描述，本人肥腸懵屄，看來知乎精英的常規操作就是嚴以待人，寬以律己，可以，這非常精英。

噗，被逗笑了。

引用一個非常貼切的回答！

https://www.zhihu.com/answer/27687977

根據康德來說，邏輯是先天的，但物理學是依賴經驗的。

所以邏輯的全部證據都已經明了，自然不會有太多發展，是「已完成的學科」。

但康德覺得數學也是先天的，我很想知道他看到現代數學會有何反應。

以上所說是日常語境下的邏輯，如果說現代的數理邏輯，那更多的是一種formalize and reason about things的數學工具，而不是一切真理的檢驗標準這麼高級的東西。反過來想也很好理解，（哲學意義）邏輯的強大在於其絕對的普適性，所以它的內容相對的必然極少。經典邏輯來說，MP規則，矛盾律和排中律，這三條都是具有極大的必然性的。現代數理邏輯的公理，定理就沒有這種「必然性」。

身為休謨黨，最後說一句休謨世界觀下怎麼解釋這個問題。邏輯的力量在於必然性。因此，邏輯必然是在幾乎所有的經驗中歸納得到的，對幾乎所有經驗同等的適用。假設新的一條邏輯公理的存在，如果它有同樣的必然性，那麼它就必須與其它邏輯公理同洋地普適，那麼我們沒有理由只發現了其它的而單單忽略了它。反過來，因為它尚未被發現，它就不可能具有現有的邏輯的普適性，那麼它自然就不能具有同樣的地位，躋身邏輯的行列了。

你這個問題提得非常到位。確實，自從2千3百多年前古希臘哲者亞里士多德用語言分析法歸納出了古典形式邏輯以後，近代除了把命題演繹符號化、公理化、數理化之外確實沒有什麼新發現。命題判斷還是『一些ヨ，所有?，肯定?、否定?，並且∧，或者∨，如果→、那麼←』4對共8個。後來2百多年前德國哲學家康德所加的4個其實全都不是命題判斷。為什麼會這樣？

這是因為形式邏輯的命題判斷確實只有這8個。現在出了一本叫《形神邏輯》的哲學邏輯專著，是我們當今中國人的原創。裡面已經用範疇推理證明了命題形式判斷確實只有這8個，但推導出來的詞項內容判斷卻有12個，以前都沒有被徹底研究過。也就是說『形式邏輯』不完備，缺了『內容邏輯』部份。康德就是因為發現了問題，所以才加了4個判斷上去，構成了一個很多人都知道的『12判斷表』。可惜他沒有加對。

現代物理學/數學全都是在『形式邏輯』的基礎上發展起來的。不管怎麼『顛覆了人類許多固有的認知，完全超越了人類的直覺』，現代物理學/數學其實還是不完備的，還有非常廣闊的糾錯、發展和完善的空間。

你既然提到了數學上的連續概念，那我就舉一個這方面的例子來具體說明一下我所說的『不完備』究竟是什麼意思。

關於『無限連續』的定義問題，形神邏輯有如下的定義：

在三維空間中任意給定一點，從這點出發可以作任意方向的延長，而且可以於任意處停止後再原路返回。

反過來理解就是：只要有一個方向不能夠延長或者延長之後來路被隔斷而不能夠「原路返回」的話，都不能夠被認為是無限連續。

哲學定義式：無限連續=無限順續+無限逆續i；符號式：?=→+←i。可見無限連續是在「無限：—=│+(?│)i」的前提下加入「順?、逆?」兩個相反方向的限制而定義的。

1、無限連續是在「空間三維無限」的假設前提下定義的連續。

因為如果沒有「空間三維無限」做前提，那麼「任意給定一點」和「作任意方向的延長」都是不可能的。

2、無限連續是一個性質範疇概念而不是一個單獨性質概念。

因為如果設「作任一方向的延長」的符號為：→，「原路返回」的符號為：←，則無限連續的符號便為：?。因為→和←是方向互反的，即就「方向」這個性質而言，順逆兩個方向全無重疊，所以?、→、←三者可以構成為一個性質範疇，用哲學複數式表達就是：連續=順續+逆續i，即?=→+(?→)i=→+←i。→為實正，←為虛反，而?為複合。

於是也可以把一般的性質範疇或簡稱範疇定義為：合=正+反i或復=實+虛i。這裡先就「復、實、虛」作點解釋：既然→是指實實在在地走了過來，那麼就只要虛虛地一想而不用再實實在在地回頭走就可以知道必然能夠走回去←，所以→為實時則←便為虛。?為復就是→實←虛重疊在一起的意思。當然了，這種複數式不僅僅是形式上的表達，同時也具有實質上的運算意義。這在範疇篇中將有詳盡的論述。至於「合、正、反」的意思就是正和反成對出現，並無第三者，這與集合論「並∪」關係中可以多個對象並列的情況是不同的。這些在第二部建立形神邏輯中將有詳盡的論述。

作為對照，在希爾伯特的《幾何基礎》中，則僅僅從一條直線的一個方向上定義了連續。

例如，作為希爾伯特-歐幾里得幾何系統公理表中的第四組公理，Ⅳ1.(阿基米德公理) 設AB和CD是任意兩條線段，則在直線AB上存在著有限多個點A1，A2，…，An，使得A1在A和A2之間，A2在A1和A3之間等，並且線段AA1，A1A2，…，An-1An都合同於線段CD，而B在A和An之間，如下圖1所示。