換句話來說，對於任意給定的實數r，能否構造一個數列滿足，每一項都是aQ+bP的形式（其中a、b是整數，Q是任意給定的一個非零有理數，P是任意給定的無理數），並且該數列的收斂到r

可以。

給定有理數 [公式] ，將其寫成既約分數 [公式] 。給定無理數 [公式] ，令無理數 [公式] 。

設 [公式] 表示一個實數的小數部分。對於一個無理數 [公式] ，一個熟知的結論是， [公式]全是無理數，並且在 [公式] 上稠密。所以對於任意的 [公式] ， 存在整數 [公式] ，使得 [公式] 。對於任意實數 [公式] ，都可以用 [公式] 的整數倍近似，誤差不超過 [公式] 。所以，形如 [公式] 的數可以逼近任意實數。所以，形如 [公式] 的數也可以逼近任何實數。

提供一個思考方向，不知是不是題主的意思。

首先，對任意實數 [公式] 通過對其本身的四則運算，可以相繼得到

[公式]

很清楚，級數 [公式]

是條件收斂的，於是依重排定理，總可以對這個級數進行重排使其收斂到任意值。

寫了一個跟原來問題等價命題的證明，不知道有沒有問題

可以，因為很容易證明，對非零實數數對（p，q）使得q/p是無理數，{aq+bp|a,b∈?}在?上稠密。

這等價於證明對於任意無理數 [公式] 和正整數 [公式] ，對於任意小的 [公式] ，都存在整數 [公式] ，使得 [公式]

由Dirichlets approximation theorem，我們有對於任意大於 [公式] 的正整數 [公式] ，存在 [公式] 使得 [公式] 且有

[公式] ，適當取 [公式] 則證畢

說實話我第一反應是該命題錯誤，直覺上覺得一個足夠低階的代數數應該沒辦法被這麼好地逼近……原來是對的啊

可以，但是要允許對其中的一些項加上括弧，先算括弧再算整個求和，不然每步步長大於一個定值，這個無窮次求和都說不清楚.

任取有理數p/q，無理數α.p｛nα｝=n（pα-p【nα】/n）可見p｛nα｝是可表的.

任意有理數p/q可以得到p，對任意無理數α有｛nα｝在（0，1稠密），自然p｛nα｝在（0，p）稠密，我們只需考察數列Sn=p｛nα｝，它可以逼近任意一個【0，p】中的數，對於【0，p】內任意一個數x，我們可以取一列｛Sni｝使得Sni當i增大時單調趨近x，由於我們知道ai=Sn（i+1）-Sni是可表的，於是我們找到了一個收斂序列使得∑ai趨於x，所以【0，p】中的任意數都是可表的.

對於任意區間【kp，（k+1）p】（k屬於Z中的數），只需考察數列Sn（k）=kp+p｛nα｝即可.

不可以。

實數集全體是具有連續統的，數的加減運算無法遞歸到連續統這個級別，最多只可以構造可數個實數，不可以構造出整個實數集全體

如何證明一個無理數的整數倍數的小數部分在（0,1）上稠密？?

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我在最近的學習中遇到了類似的問題，對應的就是 @emoji 所提到的一個熟知的結論。感謝 @朝聞道 在我的問題下給出了一個很棒的解答。我在這裡把他的解答按照我的理解寫在這裡，希望能幫助到更多的後來的學習者。如果我理解有誤也歡迎指出。

對於任意一個實數 [公式] 和某一個固定的非零有理數 [公式] ，顯然我們可以有唯一分解[公式] ，把 [公式] 理解成類似對 [公式] 取小數的函數，因而我們只需要證明 [公式] 在 [公式] 上稠密即可。

[公式] 集合是一個有界集合，並且對於 [公式] 有 [公式] 。如果 [公式] ,這與 [公式] 是無理數是矛盾的。因而 [公式] 中為無限集。因而 [公式] 必有聚點，即有 [公式] ,因而對任意 [公式] 存在 [公式] ，又由 [公式] 對差運算封閉，所以存在 [公式] ，對於 [公式] ,只需要取 [公式] ,就必有 [公式] 。也就是說 [公式] 稠密，得證。

在的親。

可以的親。

數列也可以的親。

不用收斂到r，絕對收斂到0就行了。

我猜不可以的，有些數是超越數

感覺任意次操作也得不到有理數吧，如果b不為0？

稠密就代表了能得到任意一個實數？

肯定不行的，設有理數為a，無理數為b，僅通過加減運算可得到數的集合為A，A中元素形如ma+nb，m，n為整數，設內積運算(m, n) =ma+nb，因此可以得到一個二維整數到A的一個同構映射，

即f : N imes N arrow A 同構

因此A中元素可數個，而實數不可數，因此矛盾

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