拉普拉斯—龙格—楞次矢量
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预备知识 开普勒问题
在开普勒问题中, 我们定义拉普拉斯—龙格—楞次矢量(Laplace-Runge-Lenz Vector) (通常简称为 LRL 矢量)为
其中 为质点动量, 为轨道角动量, , 为质点位矢 的单位矢量. 在开普勒问题中, 可以证明 是一个守恒量.
守恒证明
我们下面证明 . 对式 1 求时间导数, 考虑到中心力场中质点角动量 LL 守恒, 有
其中由牛顿第二定律和万有引力定律, 有
˙
又由「极坐标中单位矢量的偏导」 得
最后由式 5, 极坐标系中的角动量等于
将式 3至式 5代入式 2得
最后一个等号成立是因为 , 可以类比直角坐标系中的 . 证毕.
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