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在数学上，二者其实没有太多根本区别，就一句话

在一个域中构造一个线性空间，那么域中的量就叫标量，线性空间中的量就是矢量（向量）

设 是一个非空集合， 是一个数域

在 上定义一种二元运算 ，称为加法，使得对 中任意两个元素 和 ， 中都有惟一一个元素 与其对应，即 ， 称作 与 的和；

在数域 和集合 的元素之间定义了一种运算叫做数乘，对于数域 中任意一个数 和集合 中任意一个元素 ，在 中都有唯一一个元素 与其对应，即 ， 称为 与 的数乘.

其中向量加法要求是构成的一个交换群

数乘满足：

1） ；

2） .

数乘对标量加法满足分配律：3） ；

数乘对向量加法满足分配律：4） .

满足以上规则的集合 就叫做线性空间，集合 中的元素就叫做向量，而数域 中的元素称为标量

至于物理和几何学中狭义的矢量（向量），实际上是欧几里得向量

要研究它们，光线性空间是不够的，需要在线性空间定义内积运算

我们设 ，它们的内积记为

内积需要满足：

1）

2）

3）

4） ，当且仅当 时取等

这样就建立了内积空间

并且向量的内积要满足平行四边形法则：

（ ）

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矢量与标量的根本区别是运演算法则的不同，而不是有无方向，如电流有方向，但电流是标量？

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个人理解。

首先，无论矢量还是标量，都是一个有测度的连续函数。

第二，矢量被定义为有方向性，这里的方向跟电路中的电流方向不是一个意思。而且来说，电路中的电流你做基尔霍夫的时候，也完全可以矢量定义，结果定方向。

三，问题如果深入一些就会发现，其实对于一个矢量，如果它是一维的，那么它其实就是个标量！比如矢量A表示数轴上长度为1的由1指向2的量；矢量B表示数轴上长度为1的由2指向1的量；你会发现，A和B 其实只是一个符号差异，其方向特征仅用符号就能描述。其测度的叠加完全不受符号外的第三个量的影响。所以，其实标量就是一维的矢量，或者说标量就是实数。

四，可能有人要拿面积标量和体积标量来打我的脸。但其实，无论是面积还是体积，单纯说一个标量的时候，你完全不能确定他的形状，因为你在给他测度的时候，他的测度就已经化为一维的了。所以，所谓的面标量体标量还是矢量的一维化，或者实数化。

五，所以，总结一下，所有可以一维化表示（实数化）的量就是标量。其它的应该就是矢量。

个人理解。仅供参考讨论。

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个人觉得可以这样认为，对于一个事物，标量是用来衡量这个事物的各种属性信息；而矢量不仅仅可以衡量事物的属性信息，还附加说明了属性信息之间的关系。比如一个人从一个点位置走到另一个点位置，他其中走的每一步的距离是用来衡量他的步长大小的标量；而他从第一步的距离和方向到最后一步的距离和方向组合在一起，也就是中间的位移过程，这是矢量，矢量中的每一个数据是有相对的前后顺序关系的，因为矢量这个词的存在，本来就是为了描述这种关系而产生。

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标量是特殊的矢量，

矢量是一般的标量。

(暴论)

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矢量是运算规则遵循平行四边形法则的量；

标量在3维空间里是转动变换下的不变数，在4维空间里是洛伦兹变换下的不变数。

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不就一个带方向性 一个不带方向性嘛

电流有些特殊 一般的电路一般只在导线中流动 故而只有两个方向 如果学过电路基础或者基尔霍夫定理或者环路定理什么的 都会先规定一个参考方向 正号和负号是和参考方向相同或者相反

但中学不会搞这么复杂

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标量和矢量可以从一下三个方面区分：

1. 标量是只有大小没有方向的量，矢量既有大小又有方向；

2. 标量在坐标系变换下保持不变，而矢量的分量在坐标系变换下按照坐标的变换规律变换；

3. (以三维空间为例）标量给出旋转群SO3的平凡表示，矢量给出SO3的三维表示.

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在数学方面，矢量的定义是有大小，方向的量。

个人觉得这种定义存在问题，即电路之中的电流有方向但不是矢量。

这是因为物理之中，矢量的定义还有一个条件，(满足平行四边形定则)。如果不满足则不视为矢量。电流也是因为这个所以不是矢量。

因而，物理定义比数学还复杂，更加适合实际

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