20世纪70年代初，三位大学教授费雪·布莱克(Fischer Black)、授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)、罗伯特·默顿(RoBert Merton)在欧式股票期权定价上获得重大突破，发明了著名的BSM模型，至今仍是期权定价的标准。而标题几个过程与这个模型的推导有关，所以在学习BSM模型之前先要把这几个过程搞清楚。下面就是曲曲菜关于这几个过程的学习笔记。

随机过程

定义：如果一个变数（z）的值以不确定的形式随时间（t）变化，我们称这个变数服从某种随机过程。

说明：从定义可以看出，随机过程有两个维度，z和t。定义中对于z和t没有任何限定，只是限定了z和t之间的一种关系，那就是z的值以不确定的形式随t变化。如果对z和t加一些限定，随机过程又可以从这两个维度进行分类。从t维度，分为离散时间和连续时间随机过程。从z维度，分为离散变数和连续变数随机过程。离散的过程，分类维度的变数，只能取某范围内的特定值，连续的过程，分类维度的变数，可以取某范围内的任意值。一般情况下，如果一个维度离散，另外一个维度应该也是离散的。

马尔科夫过程

定义：如果一个过程是随机过程，并且变数的历史值以及历史演变过程与未来值预测无关，未来值预测只和当前值有关，则这个过程为马尔科夫过程。

说明：从定义可以看出，马尔科夫过程是一种特殊的随机过程。这种特殊性，体现在x和t的关系加了一个限定，那就是x在t时间后的预测值，和t时刻之前的x没任何关系，只和t时刻的x有关。马尔科夫过程的这种性质叫做马尔科夫性质。而对未来的预测，通常以概率分布的形式给出。所以马尔科夫性质就是将来的概率分布不依赖于过去的值和路径。

维纳过程

定义：如果一个过程是马尔科夫过程，并且在单位时间变数变化的期望值服从期望为0，方差为1的正态分布，则这个过程为维纳过程。

说明：从定义可以看出，维纳过程是在马尔科夫过程上加了一个对变数的限定或者说变数变化量分布的限定。这种过程在物理中用于描述布朗运动，所以维纳过程又称为布朗运动。当然现实中的布朗运动是多维运动，但是这里说的维纳过程是一维运动。

数学表达式：

，其中

，且两个不重叠的Δt小段时间区间内，Δz相互独立。

广义维纳过程

定义：如果一个过程是维纳过程，另一个过程是漂移率恒定的过程，则将这两个过程进行附加，得到的过程就是维纳过程。

说明：从定义可以看出，广义维纳过程是维纳过程的扩充，为维纳过程增加了趋势项。定义是我根据自己理解的概括，看著可能有些绕，下面解释一下。维纳过程就不必解释了，Δt内变数的变化为

。漂移率是随机过程中变数单位时间内变化的期望值，所漂移率恒定的过程Δt内变数的变化为

aΔt。变数x的变化是这两个过程的附加，所以

。其中a和b均为常数。广义维纳过程是一个趋势项加一个变数路径上的扰动。

数学表达式：

，其中a、b为常数。

从上图可以看出维纳过程和广义维纳过程的区别，维纳过程围绕横轴做波动，广义维纳过程围绕一个一次趋势项做波动。

伊藤过程

定义：广义维纳过程的系数a和b都变为变数x和时间t的函数，则广义维纳过程变为伊藤过程。

说明：从定义可以看出，伊藤过程是更广义的维纳过程，是广义维纳过程的扩充。

数学表达式：

。这个关系是个近似式，因为Δt内的a和b不是常数，是一个随时变化的值。因为Δt很小，所以我们在这个关系式中假定了a和b是常数。

总结

从以上的介绍可以看出，后几个过程都有确定的表达式，之所以还是随机过程，就是因为扰动项的存在，扰动项的具体值无法确定。以上几个过程的关系大体可以表达如下。

随机过程 + 未来与历史无关 ----> 马尔科夫过程

马尔科夫过程 + 单位时间变化的期望服从标准正态分布 ----> 维纳过程

维纳过程 + 趋势项 ----> 广义维纳过程

广义维纳过程 + 两个系数都是变数和时间的函数 ----> 伊藤过程

参考资料

[1] 约翰 赫尔.期权、期货及其他衍生品

本文作者：曲曲菜（微信公众号：曲曲菜）

知乎专栏：AI和金融模型

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