20世紀70年代初，三位大學教授費雪·布萊克(Fischer Black)、授邁倫·斯克爾斯(Myron Scholes)、羅伯特·默頓(RoBert Merton)在歐式股票期權定價上獲得重大突破，發明瞭著名的BSM模型，至今仍是期權定價的標準。而標題幾個過程與這個模型的推導有關，所以在學習BSM模型之前先要把這幾個過程搞清楚。下面就是曲曲菜關於這幾個過程的學習筆記。

隨機過程

定義：如果一個變數（z）的值以不確定的形式隨時間（t）變化，我們稱這個變數服從某種隨機過程。

說明：從定義可以看出，隨機過程有兩個維度，z和t。定義中對於z和t沒有任何限定，只是限定了z和t之間的一種關係，那就是z的值以不確定的形式隨t變化。如果對z和t加一些限定，隨機過程又可以從這兩個維度進行分類。從t維度，分為離散時間和連續時間隨機過程。從z維度，分為離散變數和連續變數隨機過程。離散的過程，分類維度的變數，只能取某範圍內的特定值，連續的過程，分類維度的變數，可以取某範圍內的任意值。一般情況下，如果一個維度離散，另外一個維度應該也是離散的。

馬爾科夫過程

定義：如果一個過程是隨機過程，並且變數的歷史值以及歷史演變過程與未來值預測無關，未來值預測只和當前值有關，則這個過程為馬爾科夫過程。

說明：從定義可以看出，馬爾科夫過程是一種特殊的隨機過程。這種特殊性，體現在x和t的關係加了一個限定，那就是x在t時間後的預測值，和t時刻之前的x沒任何關係，只和t時刻的x有關。馬爾科夫過程的這種性質叫做馬爾科夫性質。而對未來的預測，通常以概率分佈的形式給出。所以馬爾科夫性質就是將來的概率分佈不依賴於過去的值和路徑。

維納過程

定義：如果一個過程是馬爾科夫過程，並且在單位時間變數變化的期望值服從期望為0，方差為1的正態分佈，則這個過程為維納過程。

說明：從定義可以看出，維納過程是在馬爾科夫過程上加了一個對變數的限定或者說變數變化量分佈的限定。這種過程在物理中用於描述布朗運動，所以維納過程又稱為布朗運動。當然現實中的布朗運動是多維運動，但是這裡說的維納過程是一維運動。

數學表達式：

，其中

，且兩個不重疊的Δt小段時間區間內，Δz相互獨立。

廣義維納過程

定義：如果一個過程是維納過程，另一個過程是漂移率恆定的過程，則將這兩個過程進行附加，得到的過程就是維納過程。

說明：從定義可以看出，廣義維納過程是維納過程的擴充，為維納過程增加了趨勢項。定義是我根據自己理解的概括，看著可能有些繞，下面解釋一下。維納過程就不必解釋了，Δt內變數的變化為

。漂移率是隨機過程中變數單位時間內變化的期望值，所漂移率恆定的過程Δt內變數的變化為

aΔt。變數x的變化是這兩個過程的附加，所以

。其中a和b均為常數。廣義維納過程是一個趨勢項加一個變數路徑上的擾動。

數學表達式：

，其中a、b為常數。

從上圖可以看出維納過程和廣義維納過程的區別，維納過程圍繞橫軸做波動，廣義維納過程圍繞一個一次趨勢項做波動。

伊藤過程

定義：廣義維納過程的係數a和b都變為變數x和時間t的函數，則廣義維納過程變為伊藤過程。

說明：從定義可以看出，伊藤過程是更廣義的維納過程，是廣義維納過程的擴充。

數學表達式：

。這個關係是個近似式，因為Δt內的a和b不是常數，是一個隨時變化的值。因為Δt很小，所以我們在這個關係式中假定了a和b是常數。

總結

從以上的介紹可以看出，後幾個過程都有確定的表達式，之所以還是隨機過程，就是因為擾動項的存在，擾動項的具體值無法確定。以上幾個過程的關係大體可以表達如下。

隨機過程 + 未來與歷史無關 ----> 馬爾科夫過程

馬爾科夫過程 + 單位時間變化的期望服從標準正態分佈 ----> 維納過程

維納過程 + 趨勢項 ----> 廣義維納過程

廣義維納過程 + 兩個係數都是變數和時間的函數 ----> 伊藤過程

參考資料

[1] 約翰 赫爾.期權、期貨及其他衍生品

本文作者：曲曲菜（微信公眾號：曲曲菜）

知乎專欄：AI和金融模型

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