金融随机分析笔记1——概率论和布朗运动

Chapter 1. 一般概率论重要定义

1.定义（随机过程）.设是一个指标集，称，为上的随机过程，如果满足：，是上的随机变数。且有以下性质：

$forall Binmathcal{B}(mathbb{R}),{X_t^{-1}}(B)inmathcal{F}$ ；
指标集非负，例如；
给定，为在时刻状态；给定， $left{ {X_t}(omega):tinmathbb{T} ight}$ 称为与相关的样本路径。

2.定义（域流）.在中，称一族的子- 代数 $left{ mathcal{F}_t ight}_{tinmathbb{T}}$ 为域流（Filtration），如果满足：，且， $mathcal{F_s}subseteqmathcal{F_s}subseteqmathcal{F}$ 。且称 $(Omega,mathcal{F},left{ mathcal{F}_t ight}_{tinmathbb{T}},P)$ 为带流的概率空间（Filtered Probability Space）。

域流可以理解为某时刻前的信息流，给定某时刻的域流意思是给定这个时刻及这个时刻前的所有信息。

3.定义（随机变数生成的 -代数）.设为上的随机变数，称由 $left{ {X^{-1}}(B):Binmathcal{B}(mathbb{R}) ight}$ 生成的 -代数为由生成的 -代数，记为： $sigma(X)=sigmaleft{ {X^{-1}}(B):Binmathcal{B}(mathbb{R}) ight}$

可以这样理解，有一些生成这个随机变数的事件，表示这些事件产生的 -代数，即这些事件的差、并、交、补。

4.定义（可测性）.设为上的随机变数，为的子- 代数，称为 -可测，如果有： $sigma(X)subseteqmathcal{G}Leftrightarrowforall Binmathcal{B}(mathbb{R}),X^{-1}(B)subseteqmathcal{G}$

如果称为 -可测，则给定一些事件，由这些事件的差、并、交、补等事件集合可以得出的值。

5.定义（适应性）.设 $left{ X_t ight}_{tinmathbb{T}}$ 为 $(Omega,mathcal{F},left{ mathcal{F}_t ight}_{tinmathbb{T}},P)$ 上的随机过程，称是 $mathcal{F}_t$ -适应（Adapted）的，如果满足：，为 $mathcal{F}_t$ -可测。

6.定义（独立性）.在上，设和均为的子- 代数，称与独立，若有：。

设均为随机变数，称与是独立的，如果有：与独立。

Chapter 2. 布朗运动

1.定义（-收敛）.设 $left{ X_n ight}_{n=1,2,cdots},X$ 均为中的，称 $left{ X_n ight}$ -收敛于，若有：，且 $lim_{n ightarrowinfty}{E|X_n-X|^p}=0$ ，记为： $X_nxrightarrow{L^p}X$ 。

若，称 -收敛为均方收敛；
，若 $X_nxrightarrow{L^{p_2}}X$ ，则有 $X_nxrightarrow{L^{p_1}}X$ 。

2.定义（鞅）.在上，称随机过程 $left{ X_t ight}_{tin[0,T]}$ 为关于域流 $left{ mathcal{F}_t ight}_{tin[0,T]}$ 的上鞅，若满足：

是 $mathcal{F}_t$ -适应的；
；
对于 $tle sin[0,T],X_t{ge}E[X_s |mathcal{F_t}],a.s.$ ；

性质3.中换为，称为 $mathcal{F}_t$ -下鞅；
若既为 $mathcal{F}_t$ -上鞅，也为 $mathcal{F}_t$ -下鞅，称为 $mathcal{F}_t$ -鞅（Martingale）。

若为 $mathcal{F}_t$ -鞅，则其期望等于初值 $E[X_t]=E[X_t|mathcal{F_0}]=X_0$ ；其条件期望 $E[X_t |mathcal{F_s}]=X_s$ 。

3.定义（平稳/独立增量）. $left{ X_t,t{ge}0 ight}$ 为一随机过程，称：

具有独立增量，若：，及， $left{ X(t_i)-X(t_{i-1}),1{le}i{le}n ight}$ 互独；
具有平稳增量，若：，及， $X(t_n)-X(t_{n-1})overset{d}{=}X(t_n-t_{n-1})-X(0)$ 。

4.定义（布朗运动）.在上，称是一个布朗运动，若满足：

，且关于连续；
具有独立增量；
具有平稳增量，且。

对于，由独立增量有独立于 $mathcal{F_s}$ ，由平稳独立增量有。

5.布朗运动的概率分布.对于，及 $0{le}t_0<t_1<cdots<t_n$ ，则有限维随机向量 $m{X_n}=(W(t_1),W(t_2),cdots,W(t_n))^T$ 的期望、协方差矩阵和矩母函数：

期望 $E(m{X_n})=m{0}$ ，显然；
协方差矩阵

$Cov(m{X_n})=E(m{X_n}m{X_n}^T)=(t_iwedge t_j)_{{1{le}i,j{le}n}\{n imes n}}=m{Sigma_n}= egin{pmatrix} t_1 & t_1 & t_1 & cdots & t_1\ t_1 & t_2 & t_2 & cdots & t_2\ t_1 & t_2 & t_3 & cdots & t_3\ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots\ t_1 & t_2 & t_3 & cdots & t_n end{pmatrix}$

证明： ，有：

$egin{aligned} Cov[W(s)W(t)] &= E[W(s)W(t)]-E[W(s)]E[W(t)]\ &= E[W(s)W(t)] \ &= E[W(s)(W(t)-W(s))+W^2(s)]\ &= E[W(s)]E[W(t-s)] +E[W^2(s)]\ &=Var[W(s)]\ &=s end{aligned}$

矩母函数 $varphi_{X_n}(m{u})=E(e^{m{u}^Tm{X_n}})=E[e^{sum_{i=1}^{n}{u_iW(t_i)}}]=expleft{{frac{1}{2}m{u}^Tm{Sigma_n^{-1}}m{u}} ight}$

6.定理（布朗运动的鞅性质）.若为 $mathcal{F}_t$ -布朗运动，则为 $mathcal{F}_t$ -鞅。

证明：

显然是 $mathcal{F}_t$ -适应的；
；
鞅等式成立：

$egin{aligned} E[W(t)|mathcal{F_s}]&=E[W(t)-W(s)+W(s)|mathcal{F_s}]\ &=E[W(t-s)|mathcal{F_s}]+E[W(s)|mathcal{F_s}]\ &=E[W(t-s)]+W(s)\ &=W(s) end{aligned}$

证明鞅等式时，利用的独立增量性质，构造增量后拆分为与两部分，前者与 $mathcal{F_s}$ 独立，后者为 $mathcal{F_s}$ -可测。

7.定理.若为 $mathcal{F}_t$ -布朗运动，则：

是 $mathcal{F}_t$ -鞅；
$forall uinmathbb{R},e^{uW(t)-frac{u^2}{2}t}$ 是 $mathcal{F}_t$ -鞅。

8.定义（-阶变差）.设且固定，取的划分： $0{le}t_0<t_1<cdots<t_n=T$ ，记 $||{Pi}||=max_{j=0,1,cdots,n-1}(t_{j+1}-t_j)$ ；称 $V_T^p(f)=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{|f(t_{j+1})-f(t_j)|^p}$ 为的 -阶变差。

（一阶变差）

$egin{aligned} V_T^1(f)&=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{|f(t_{j+1})-f(t_j)|}\ &=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{|f(t_{j}^*)|(t_{j+1}-t_j)}\ &=int_{0}^{T}|f(t)|dt end{aligned}$

9.布朗运动的样本路径性质. 作为的函数有以下性质：

关于连续；
任意区间内（无论区间多小），非单调；
在任意点处不可导；
任意区间内（无论区间多小），的一阶变差为；
$forall tinmathbb{R^+}$ ，在上的二阶变差为。

10.定理（布朗运动的二次变差）.设为布朗运动，则，布朗运动的二次变差。

证明：

$V_T^2(W)=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{|W(t_{j+1})-W(t_j)|^2}=lim_{||Pi|| ightarrow0}Q_Pi$

则： $E(Q_Pi)=sum_{j=0}^{n-1}{E[W(t_{j+1})-W(t_j)]^2}=sum_{j=0}^{n-1}(t_{j+1}-t_j)=T$

$egin{aligned} E[Q_Pi-E(Q_Pi)]^2&=E(Q_Pi-T)^2=Var(Q_Pi)\ &=sum_{j=0}^{n-1}{Var[W^2(t_{j+1}-t_j)]}\ &=sum_{j=0}^{n-1}left{E[W^4(t_{j+1}-t_j)]-E^2[W^2(t_{j+1}-t_j)] ight}\ &=sum_{j=0}^{n-1}[3(t_{j+1}-t_j)^2-(t_{j+1}-t_j)^2]\ &=2sum_{j=0}^{n-1}(t_{j+1}-t_j)^2\ &le2||Pi||sum_{j=0}^{n-1}(t_{j+1}-t_j)=2||Pi||T end{aligned}$

故时，，可见为 -收敛到，即，布朗运动的二次变差

证明过程用到了正态峰度的结论，即若，有其四阶矩

11.定义（马尔可夫过程）.称随机过程是相对于域流 $left{ mathcal{F}_t ight}_{tge0}$ 的马尔可夫过程（Markov Process），若，及有界Borel可测函数 $phi:mathbb{R}^d ightarrowmathbb{R}$ ，有：

$E[phi(X_t)|mathcal{F_s}]=E[phi(X_s)|sigma(X_s)],a.s.$ ，或等价地有：

$forall Ainmathcal{B}(mathbb{R}^d),mathbb{P}(X_tin A|mathcal{F_s})=mathbb{P}(X_sin A|mathcalsigma(X_s))$

12.定理（布朗运动的马尔可夫性质）.若为 $mathcal{F}_t$ -布朗运动，则是相对于 $mathcal{F}_t$ 的马尔可夫过程。

证明：

，及有界Borel可测函数， $egin{aligned} E[f(W_t)|mathcal{F_s}]&=E[f(W_{t-s}+W_s)|mathcal{F_s}]\ &=frac{1}{sqrt{2pi(t-s)}}int_{-infty}^{infty}f(w+W_s)e^{-frac{w^2}{2(t-s)}}dw\ end{aligned}$

令，得：

$egin{aligned} E[f(W_t)|mathcal{F_s}]&=frac{1}{sqrt{2pi au}}int_{-infty}^{infty}f(y)e^{-frac{(y-W_s)^2}{2 au}}dy\ end{aligned}$

定义布朗运动的转移密度函数为 $ho( au,W_s ,y)=frac{1}{sqrt{2pi au}}e^{-frac{(y-W_s)^2}{2 au}}$ ，则：

$egin{aligned} E[f(W_t)|mathcal{F_s}]&=frac{1}{sqrt{2pi au}}int_{-infty}^{infty}f(y)e^{-frac{(y-W_s)^2}{2 au}}dy\ &=int_{-infty}^{infty}f(y)p( au,W_s,y)dy\ &=g(W_s) end{aligned}$

可见 $E[f(W_t)|mathcal{F_s}]$ 是关于的函数，与先前时刻无关，因此是马尔可夫过程。

13.定义（停时）.在带流概率空间 $(Omega,mathcal{F},left{ mathcal{F}_t ight}_{tge0},P)$ 中的一个，称为随机时（Random Time）。若随机时满足： $forall tin[0,infty),left{ Tle t ight}=left{ omega:T(omega)le t ight}inmathcal{F}_t$ ，则称之为 $mathcal{F}_t$ -停时（Stopping Time）。

14.定义（首达时间）.设布朗运动，连续，为任意实数，定义水平为的首达时间为： $au_m=infleft{ tge0:W_t=m ight}$ 。

；
是一个停时。

15.定义（停止过程）.若是一个停时，为一随机过程，则 $X_t^{ au}= left{egin{aligned} X_t,tle T\ X_ au,t>T end{aligned}<br /> ight.=X_{twedge au}$ 为一个停止过程。

$Z_t=expleft{ sigma W_t-frac{1}{2}sigma^2t ight}$ 是指数鞅；
停止过程 $Z_t^{ au_m}=Z_{twedge{ au_m}}$ 仍是一个鞅。

停止过程 $Z_{twedge au_m}$ 表示的是达到水平之前是随机过程，达到水平之后一直保持这个值。

16.定理（首达时间有限）.对于，布朗运动关于水平的首达时间几乎必然有限。

证明：

对于指数鞅有： $E[Z_{twedge au_m}]=Eigg[expleft{ sigma W_{twedge au_m}-frac{1}{2}sigma^2(twedge au_m) ight}igg]=Z_0=1$

假设，当，布朗运动总是不超过水平，故有： $0leexpleft{ sigma W_{twedge au_m} ight}leexpleft{ sigma m ight}$ ；

当时，若， $expleft{-frac{1}{2}sigma^2(twedge au_m) ight}=expleft{-frac{1}{2}sigma^2 au_m ight}$ ；

若， $expleft{-frac{1}{2}sigma^2(twedge au_m) ight}=expleft{-frac{1}{2}sigma^2t ight} ightarrow0$ ；

总之，有： $lim_{t ightarrowinfty}expleft{sigma W_{twedge au_m}-frac{1}{2}sigma^2(twedge au_m) ight}=mathbb{I}_{left{ au_m<infty ight}}expleft{sigma m-frac{1}{2}sigma^2 au_m ight}$

两边取期望，化为指数鞅的等式，故有： $1=Eigg[mathbb{I}_{left{ au_m<infty ight}}expleft{sigma m-frac{1}{2}sigma^2 au_m ight}igg]$ ；

或等价地有：

$Eigg[mathbb{I}_{left{ au_m<infty ight}}expleft{-frac{1}{2}sigma^2 au_m ight}igg]=e^{-sigma m}$

等式对所有成立，故令取极限，得到：

$Eig[mathbb{I}_{left{ au_m<infty ight}}ig]=1$ ，即 $mathbb{P}( au_m<infty)=1$ ；

由于以概率1有限，称水平首达时间几乎必然有限。

Chapter 2.5. 补充内容

1.定理（布朗运动的其他变差）.对于，选取划分 $Pi:0{le}t_0<t_1<cdots<t_n=T$ ，当分点数目且最大子区间长度时，对布朗运动的几乎所有路径：

一阶变差 $sum_{j=0}^{n-1}{|W(t_{j+1})-W(t_j)|}$ 趋于；
三次变差 $sum_{j=0}^{n-1}{|W(t_{j+1})-W(t_j)|^3}$ 收敛于。

（证明略.）

普通函数的一阶变差有限，二次变差为；布朗运动与其他函数的区别在於其一阶变差为，二次变差有限，三阶变差为；这也是随机微积分与普通的微积分的主要区别；
可以这样类比，一个函数二阶导数不为时，用 Taylor 展式逼近时如果仅用一次项，会产生很大的误差，需要用二次项去逼近。

2.定义（协变差）.设且固定，取的划分： $0{le}t_0<t_1<cdots<t_n=T$ ，记 $||{Pi}||=max_{j=0,1,cdots,n-1}(t_{j+1}-t_j)$ ；称： $[f,g](t)=lim_{||Pi|| ightarrow0}sum_{j=0}^{n-1}{igg|ig[f(t_{j+1})-f(t_j)ig]·ig[g(t_{j+1})-g(t_j)ig]igg|}$