之前章節，我們已經介紹了函數的單調性、極值和最值的概念，這些概念與函數的導數有着密切關係，這節，我們從導數的視角，研究函數的單調性和最值，然後舉例說明導數在求解函數最值、解不等式、作圖等方面的應用，體會導數的強大之處。

一、導數視角：函數的單調性

定義在區間 D 上的可導函數 f(x)

  • 若 forall x in Isubseteq D ，都有 f(x)geq0 （不恆等於0），則 f(x) 在區間 I 上單調遞增，稱區間 I 爲 f(x) 的一個增區間；
  • 若 forall x in I subseteq D ，都有 f(x)leq 0 （不恆等於0），則 f(x) 在區間 I 上單調遞減，稱區間 I 爲 f(x) 的一個減區間。

理解：

可以簡單理解爲，函數在某區間上單調遞增，即函數在該區間上任意一點處的切線斜率都大於或等於0；函數在某區間上單調遞減，即函數在該區間上任意一點處的切線斜率都小於或等於0。

二、導數視角：函數的極值

導數值得正負性與函數的單調性有密切關係，特別地，我們進一步研究一下：函數在導數值等於0的位置處有什麼特殊性？導數值爲0，即切線的斜率爲0，即切線平行於 x 軸。章節1.3介紹了函數的最大值與最小值的概念，這裏我們給出兩個新的概念：極小值和極大值：

定義：極值

若函數 f(x) 在點 x_0 及其附近 I 有定義， forall x in I

  • 都有 f(x)geq f(x_0) ，則稱 x_0 爲函數 f(x) 的一個極小值點， f(x_0) 是一個極小值；
  • 都有 f(x)leq f(x_0) ，則稱 x_0 爲函數 f(x) 的一個極大值點， f(x_0) 是一個極大值。

那麼，大家思考：對於可導函數 f(x) ，函數 f(x_0)=0 與 x_0 是函數 f(x) 的一個極值點之間是什麼關係？

猜想： f(x_0)=0Leftrightarrow x_0 是函數 f(x) 的一個極值點

反例： f(x)=x^3

f(x)=3x^2 ，當 x=0 時， f(x) =0，但 x=0 並不是函數 f(x) 的極值點，猜想不成立。

結論： x_0 是函數 f(x) 的一個極值點 Rightarrow f(x_0)=0 ，即 f(x_0) 是 x_0 是函數 f(x) 極值點的必要不充分條件。

三、導數應用

應用一：單調性相關

解題思路：

  1. 確定函數定義域，求導；
  2. 若問題爲求解單調區間：只需解方程 f(x)=0 ，確定單調區間；
  3. 若問題爲已知單調性，求參數範圍：轉化爲在單調增（減）區間內 f(x)geq 0 （ f(x)leq0 ）恆成立問題

例1：求 y=-frac{1}{3}x^3+2ax^2-3a^2x+b(0 的單調區間</P><P>解：定義域爲 <img src= ， y=-x^2+4ax-3a^2=-(x-a)(x-3a) ，所以在 (-infty,a),(3a,+infty) 上單調遞減，在 (a,3a) 單調遞增。

例2： f(x)=frac{1}{3}x^3+frac{1}{2}(2-a)x^2+(1-a)x,(ageq0) ，若 f(x) 在 [0,1] 上單調遞增，求 a 的範圍。

解：定義域爲 R ， f(x)=x^2+(2-a)cdot x+(1-a)，轉化爲 forall xin [0, 1], f(x)geq0

應用二：函數最值相關

解題思路：

  1. 明確在何區間內求解函數最值，特別注意是否爲閉區間；
  2. 求導，解方程 f(x)=0 ，確定極值點；
  3. 計算極值（若爲閉區間，還需計算端點值），確定最大值或最小值。

例1：已知函數 f(x)=2x^3-3x ，求 f(x) 在區間 [-2,1] 上的最大值

解：區間爲 [-2,1] ， f(x)=6x^2-3 ，令 f(x)=0 ，得 x_1=-frac{sqrt{2}}{2},x_2=frac{sqrt{2}}{2} .

因 f(-2)=-10,f(x_1)=sqrt{2},f(x_2)=-sqrt{2},f(1)=-1

所以 f(x) 在區間 [-2,1] 上的最大值爲 sqrt{2} .

應用三：切線方程相關

解題思路：

  1. 確定切點座標 (x_p, y_p) ，注意題目條件：”在點 (x_0,y_0) 處的切線“和”過點 (x_0,y_0) 的切線“的區別，當切點座標未知時，設出切點座標，此時注意利用 y_p=f(x_p) ；
  2. 求導，確定切線斜率： f(x_p) ；
  3. 確定切線方程： y-y_0=f(x_p)(x-x_0) ，注意隱含條件：當 (x_p,y_p) e (x_0,y_0) 時， y_p=f(x_p),f(x_p)=frac{y_0-y_p}{x_0-x_p}

例1：求 y=frac{x}{x+2} 在 (-1,-1) 的切線方程

解：切點座標爲 (-1,-1) ， f(x)=frac{2}{(x+2)^2} ，所以 f(-1)=2 ，切線方程爲 y+1=2cdot(x+1) ，即 y=2x+1

例2：已知函數 f(x)=2x^3-3x ，若過點 P(1,t) 存在3條直線與曲線 y=f(x) 相切，求 t 的取值範圍。

解：設切點座標爲 (x_p,y_p) ， f(x)=6x^2-3 ，所以切線方程爲 y-y_p=(6x_p^2-3)(x-x_p)

切線過點 P(1,t) ，代入， t-y_p=(6x_p^2-3)(1-x_p) ，整理得

4x_p^3-6x_p^2+t+3=0

設 g(x)=4x^3-6x^2+t+3 ，則原問題等價於 g(x) 有3個不同的零點，結合三次函數的圖像，不難得到：三次函數有3個不同的零點，則該函數的極大值應大於0且極小值小於0.

g(x)=12x^2-12x=12x(x-1)

所以 g(x) 的極大值爲 g(0)=t+3 ，極小值爲 g(1)=t+1 ，進而 tin(-3,-1) .

應用四：不等式相關

解題思路：

  1. 明確定義域，求函數的導數 f(x) ;
  2. 討論函數的單調性，確定極值；
  3. 確定函數在區間內的最值，建立與未知參數的不等關係；
  4. 求解不等式

注意：上述解題思路，是一般思路，但在實際操作中，往往遇到函數的導數形式複雜，不易求解其零點，此時，可能需要從其他角度切入，簡化問題。

例1：設 f(x)=e^xlnx+frac{2e^{x-1}}{x} ，證明： f(x)>1 .

解：此題的目標非常明確，但 f(x) 的確太複雜，需要從其他角度切入。

這裏提供一種思路，當然，還有其他很多思路。

首先，簡化 f(x) 的形式，去分式，提公因式

e^xlnx+frac{2e^{x-1}}{x}>1 ，變形爲 xlnx-xe^{-x}>-frac{2}{e}

注意觀察： xlnx 與 xe^{-x} 之間的關係

令 g(x)=xlnx ，則 g(e^{-x})=-xe^{-x}

下面只需求 g(x) 的最小值

定義域爲 (0,+infty) ，g(x)=1+lnx ，令 g(x)=0 ，得到 x=frac{1}{e} ，且 x=frac{1}{e} 爲其極小值點，所以 g(x) 的最小值爲 g(frac{1}{e})=-frac{1}{e} .

因 e^{-x} 的值域爲 (0,+infty) ，從而複合函數 g(e^{-x}) 的最小值也爲 -frac{1}{e} （此時 x=1 efrac{1}{e} )

所以 xlnx-xe^{-x}=g(x)+g(e^{-x})>-frac{1}{e}-frac{1}{e}=-frac{2}{e}

應用五：簡單作圖

解題思路：

  1. 明確函數定義域；
  2. 求導，令 f(x)=0 ，求解極值點和單調區間；
  3. 確定關鍵點位置，如端點、極值點、零點等；
  4. 根據區間內的單調性，作圖

以上是對導數的應用簡單介紹，上述例題都比較簡單，但都具有代表性，重點是向大家介紹一般解題思路和注意的問題。高考中對導數的考察難度較大，涉及題型複雜多變，尤其是涉及不等式證明或者含參不等式恆成立問題等，複雜多變。需要大家多思考、多總結。


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