1、建模方法：

实验法：人为给系统施加某种测试信号，记录相应的输出，然后用适当的数学模型去逼近，也称为系统辨识方法；

解析法：利用已有的物理规律和化学规律来分析系统各部分的运动机理，获取其运动方程。

2、常用的数学模型：

①时域中常使用的数学模型：微分方程、差分方程；

②复域中常用的数学模型：传递函数、结构图；③频域中常用的数学模型：频率特性。

2.1、微分方程：通常，解析法对系统或元部件建模如下：

①分析系统运动的因果关系，确定其输入、输出、中间变数及其之间关系；

②从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变数所遵循的物理（或化学）规律，列写出各个元部件的动态方程；③消去中间变数，写出输入与输出变数的微分方程。

注：系统的数学模型越精确，微分方程的阶次越高，直接对高阶微分方程求解困难。
如果系统参数或者结构发生变化，需要重新建模并求解微分方程，不利于系统的分析与设计。

2.2、传递函数：在零初始条件下，输出信号c(t)的拉氏变换C(s)与输入信号r(t)的拉氏变换R(s)之比，记为G(s)：G(s)= frac{L[c(t)]}{L[r(t)]} = frac{C(s)}{R(s)}。

注：「零初始条件」有两个含义：
①指输入在t=0之后才作用于系统，因此t≤0时系统输入量及其各阶导数为0；
②输入作用于系统之前，系统是相对静止的，就是系统的输出量及其各阶导数在t≤0时也为0。

  • G(s)的常用形式：

①有理分式形式 G(s)=frac{N(s)}{D(s)}=frac{Sigma_{j=0}^m b_js^j}{Sigma_{i=0}^n a_is^i}，式中 mleq n ；

②零极点形式G(s)=frac{K_gPi_{j=1}^m (s+z_j)}{Pi_{i=1}^n (s+p_i)}，式中 -z_j 为零点，-p_i 为极点， K_g 为增益；

③时间常数形式G(s)=frac{KPi_{j=1}^{m_1} ( au_j s+1) Pi_{l=1}^{m-m_1} ( au_l^2 s^2+2xi_l au_ls+1)} {s^v Pi_{i=1}^{n_1} (T_i s+1) Pi_{k=1}^{n-n_1-v} (T_k^2 s^2+2xi_k T_ks+1)}， au_j,T_i 为时间常数， K 为放大系数。

  • 由G(s)时间常数形式可知，任一复杂系统的G(s)可由如下6个典型环节组成：

①比例环节：G(s)=frac{C(s)}{R(s)}=K；

②惯性环节：G(s)=frac{C(s)}{R(s)}=frac{1}{Ts+1}；（因储能元件，输出量不能立即跟上输入信号） ③积分环节（也称无差环节）：G(s)=frac{C(s)}{R(s)}=frac{1}{s}(一阶)， frac{1}{s^2} (二阶)； ④微分环节： G(s)=frac{C(s)}{R(s)}=s(理想微分环节)， au s+1 (一阶)， au^2 s^2+2xi au s+1 (二阶)； ⑤振荡环节：G(s)= frac{1}{T^{2}s^{2}+2ξTs+1} = frac{w_{n}^{2}}{s^2+2ξw_{n}s+w_{n}^{2}}，式中 w_{n}=frac{1}{T} 称为无阻尼振荡频率， xi 为阻尼比；

⑥滞后环节（也称延迟环节）： G(s)= e^{-τs}。

注：i.因为实际物理系统总是存在惯性，并且能源功率有限，使得传递函数的分母阶次n总是
大于或等于分子阶次m；
ii.传递函数只取决于系统的结构和参数，与外界作用无关；
iii.传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应，即G(s)=C(s)/R(s)=C(s)（因为r(t)=δ(t)的拉氏变
换为R(s)=1）。

2.3、结构图 如下图，R(s)为指定输入信号，N(s)为干扰信号，C(s)为输出信号，E(s)为误差信号，其中R(s)与N(s)为系统的两个输入，E(s)和C(s)为系统的两个输出。

  • 系统的开环传递函数：系统的主反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比，即G_k(s)=frac{B(s)}{E(s)}=G_1(s)G_2(s)H(s)

注：这里的开环传递函数是指闭环控制系统里的某一处开环的传递函数，而不是指开环控制
系统的传递函数。

  • 系统的闭环传递函数

①当N(s)=0时，输出C(s)对给定输入R(s)的传递函数为

Phi_{cr}(s)=frac{C_r(s)}{R(s)}=frac{G_{1}(s)G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)} =frac{G_{1}(s)G_{2}(s)}{1+G_k(s)}

②当R(s)=0时，输出C(s)对扰动N(s)的传递函数为

Phi_{cn}(s)=frac{C_n(s)}{N(s)}=frac{G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)} =frac{G_{2}(s)}{1+G_k(s)}

当给定输入和扰动同时作用被控系统时，根据线性叠加原理，有

C(s)=Phi_{cr}(s)R(s)+Phi_{cn}(s)N(s)

  • 系统的误差传递函数

①当N(s)＝0时，则误差E(s)对R(s)的传递函数为

Phi_{er}(s)=frac{E_r(s)}{R(s)}=frac{1}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)} =frac{1}{1+G_k(s)}

②当R(s)=0时，则误差E(s)对N(s)的传递函数为（简称扰动误差传递函数）

Phi_{en}(s)=frac{E_n(s)}{N(s)} =frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)} =frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_k(s)}

当给定输入和扰动同时作用被控系统时，根据线性叠加原理，系统误差为

E(s)=Phi_{er}(s)R(s)+Phi_{en}(s)N(s)

注：当系统参数、结构发生变化时，微分方程形式模型需要重新建模，而传递函数形式模型
不必重新建模，这是因为经过拉普拉斯变换后串联、并联、反馈连接形式的环节，其运算变
为乘、加等低级运算，不再是微分运算。

2.4、频率特性：稳定的线性定常系统在正弦信号的作用下，系统输出的稳态分量与输入的复数之比；其中，输出的稳态分量振幅与输入的振幅比A(w)称为幅频特性，输出的稳态分量相位与输入的相角之差φ(w)称为相频特性，即G(jw)=frac{C(jw)}{R(jw)}=A(w)e^{jvarphi(w)}。

注：i.频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；
ii.φ(ω)大于零时称相角超前，小于零时称相角滞后；
iii.频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关。

3、数学模型是等价变换的：微分方程、传递函数、结构图、频率特性之间一一对应的。

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