1、建模方法：

實驗法：人為給系統施加某種測試信號，記錄相應的輸出，然後用適當的數學模型去逼近，也稱為系統辨識方法；

解析法：利用已有的物理規律和化學規律來分析系統各部分的運動機理，獲取其運動方程。

2、常用的數學模型：

①時域中常使用的數學模型：微分方程、差分方程；

②復域中常用的數學模型：傳遞函數、結構圖；③頻域中常用的數學模型：頻率特性。

2.1、微分方程：通常，解析法對系統或元部件建模如下：

①分析系統運動的因果關係，確定其輸入、輸出、中間變數及其之間關係；

②從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據各變數所遵循的物理（或化學）規律，列寫出各個元部件的動態方程；③消去中間變數，寫出輸入與輸出變數的微分方程。

註：系統的數學模型越精確，微分方程的階次越高，直接對高階微分方程求解困難。
如果系統參數或者結構發生變化，需要重新建模並求解微分方程，不利於系統的分析與設計。

2.2、傳遞函數：在零初始條件下，輸出信號c(t)的拉氏變換C(s)與輸入信號r(t)的拉氏變換R(s)之比，記為G(s)：G(s)= frac{L[c(t)]}{L[r(t)]} = frac{C(s)}{R(s)}。

註：「零初始條件」有兩個含義：
①指輸入在t=0之後才作用於系統，因此t≤0時系統輸入量及其各階導數為0；
②輸入作用於系統之前，系統是相對靜止的，就是系統的輸出量及其各階導數在t≤0時也為0。

  • G(s)的常用形式：

①有理分式形式 G(s)=frac{N(s)}{D(s)}=frac{Sigma_{j=0}^m b_js^j}{Sigma_{i=0}^n a_is^i}，式中 mleq n ；

②零極點形式G(s)=frac{K_gPi_{j=1}^m (s+z_j)}{Pi_{i=1}^n (s+p_i)}，式中 -z_j 為零點，-p_i 為極點， K_g 為增益；

③時間常數形式G(s)=frac{KPi_{j=1}^{m_1} ( au_j s+1) Pi_{l=1}^{m-m_1} ( au_l^2 s^2+2xi_l au_ls+1)} {s^v Pi_{i=1}^{n_1} (T_i s+1) Pi_{k=1}^{n-n_1-v} (T_k^2 s^2+2xi_k T_ks+1)}， au_j,T_i 為時間常數， K 為放大係數。

  • 由G(s)時間常數形式可知，任一複雜系統的G(s)可由如下6個典型環節組成：

①比例環節：G(s)=frac{C(s)}{R(s)}=K；

②慣性環節：G(s)=frac{C(s)}{R(s)}=frac{1}{Ts+1}；（因儲能元件，輸出量不能立即跟上輸入信號） ③積分環節（也稱無差環節）：G(s)=frac{C(s)}{R(s)}=frac{1}{s}(一階)， frac{1}{s^2} (二階)； ④微分環節： G(s)=frac{C(s)}{R(s)}=s(理想微分環節)， au s+1 (一階)， au^2 s^2+2xi au s+1 (二階)； ⑤振蕩環節：G(s)= frac{1}{T^{2}s^{2}+2ξTs+1} = frac{w_{n}^{2}}{s^2+2ξw_{n}s+w_{n}^{2}}，式中 w_{n}=frac{1}{T} 稱為無阻尼振蕩頻率， xi 為阻尼比；

⑥滯後環節（也稱延遲環節）： G(s)= e^{-τs}。

註：i.因為實際物理系統總是存在慣性，並且能源功率有限，使得傳遞函數的分母階次n總是
大於或等於分子階次m；
ii.傳遞函數只取決於系統的結構和參數，與外界作用無關；
iii.傳遞函數的拉氏反變換是系統的脈衝響應，即G(s)=C(s)/R(s)=C(s)（因為r(t)=δ(t)的拉氏變
換為R(s)=1）。

2.3、結構圖 如下圖，R(s)為指定輸入信號，N(s)為幹擾信號，C(s)為輸出信號，E(s)為誤差信號，其中R(s)與N(s)為系統的兩個輸入，E(s)和C(s)為系統的兩個輸出。

  • 系統的開環傳遞函數：系統的主反饋信號B(s)與偏差信號E(s)之比，即G_k(s)=frac{B(s)}{E(s)}=G_1(s)G_2(s)H(s)

註：這裡的開環傳遞函數是指閉環控制系統裏的某一處開環的傳遞函數，而不是指開環控制
系統的傳遞函數。

  • 系統的閉環傳遞函數

①當N(s)=0時，輸出C(s)對給定輸入R(s)的傳遞函數為

Phi_{cr}(s)=frac{C_r(s)}{R(s)}=frac{G_{1}(s)G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)} =frac{G_{1}(s)G_{2}(s)}{1+G_k(s)}

②當R(s)=0時，輸出C(s)對擾動N(s)的傳遞函數為

Phi_{cn}(s)=frac{C_n(s)}{N(s)}=frac{G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)} =frac{G_{2}(s)}{1+G_k(s)}

當給定輸入和擾動同時作用被控系統時，根據線性疊加原理，有

C(s)=Phi_{cr}(s)R(s)+Phi_{cn}(s)N(s)

  • 系統的誤差傳遞函數

①當N(s)＝0時，則誤差E(s)對R(s)的傳遞函數為

Phi_{er}(s)=frac{E_r(s)}{R(s)}=frac{1}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)} =frac{1}{1+G_k(s)}

②當R(s)=0時，則誤差E(s)對N(s)的傳遞函數為（簡稱擾動誤差傳遞函數）

Phi_{en}(s)=frac{E_n(s)}{N(s)} =frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)} =frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_k(s)}

當給定輸入和擾動同時作用被控系統時，根據線性疊加原理，系統誤差為

E(s)=Phi_{er}(s)R(s)+Phi_{en}(s)N(s)

註：當系統參數、結構發生變化時，微分方程形式模型需要重新建模，而傳遞函數形式模型
不必重新建模，這是因為經過拉普拉斯變換後串聯、並聯、反饋連接形式的環節，其運算變
為乘、加等低級運算，不再是微分運算。

2.4、頻率特性：穩定的線性定常系統在正弦信號的作用下，系統輸出的穩態分量與輸入的複數之比；其中，輸出的穩態分量振幅與輸入的振幅比A(w)稱為幅頻特性，輸出的穩態分量相位與輸入的相角之差φ(w)稱為相頻特性，即G(jw)=frac{C(jw)}{R(jw)}=A(w)e^{jvarphi(w)}。

註：i.頻率特性表徵了系統或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性；
ii.φ(ω)大於零時稱相角超前，小於零時稱相角滯後；
iii.頻率特性反映了系統的內在性質,與外界因素無關。

3、數學模型是等價變換的：微分方程、傳遞函數、結構圖、頻率特性之間一一對應的。

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