自动控制原理要点---第四章根轨迹

在系统设计与调试中，某些参数需要经常调整，并希望看到参数变化对极点位置的影响。如果每改变一次参数就求解一次特征方程，这将是十分繁琐与困难，尤其是对高阶方程。

1、根轨迹：某参数由连续变化时，系统特征根在S平面上随之连续变化的轨迹曲线。

由特征方程：，有 $G_k(s) left(=K_gfrac{Pi_{j=1}^m (s+z_j)}{Pi_{i=1}^n (s+p_i)} ight)=-1$ ，式中为开环零点，为开环极点，为开环增益。

常规根轨迹：若开环增益连续变化时，系统特征根随之连续变化的轨迹。

2、根轨迹与系统性能关系：

①稳定性：根轨迹停留在S左半平面的就是使系统稳定的增益；根轨迹与虚轴相交时的就是使系统临界稳定的增益；根轨迹进入S右半平面的就是使系统不稳定的增益。
②动态性能： 某个值让特征根位于S左半平面的实轴上，此刻系统为过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；某个值让特征根重合位于S左半平面的实轴上，此刻系统为临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程，但响应速度变快；某个值让特征根位于S左半平面的复数点上，此刻系统为欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程，超调量将随增大而加大，但调节时间变化不大。

③稳态性能：如果无/一个/两个特征根位于原点，则系统为0型/I型/II型系统，此刻的增益为误差系数，借助稳态误差表容易求出稳态误差。

3、绘制根轨迹

规则一：根轨迹的连续性。
规则二：根轨迹的对称性。规则三：根轨迹的条数(分支数)：系统有几个特征根就有几条根轨迹，故系统阶数为根轨迹的条数。

$K_gfrac{Pi_{j=1}^m (s+z_j)}{Pi_{i=1}^n (s+p_i)}=-1 Leftrightarrow A)K_gfrac{Pi_{j=1}^m left| s+z_j ight|}{Pi_{i=1}^n left| s+p_i ight|}=1; B) anglePi_{j=1}^m ( s+z_j )-angle{Pi_{i=1}^n left| s+p_i ight|}=-180^circ$

规则四：根轨迹的起点和终点：根据条件 $A)frac{Pi_{j=1}^m left| s+z_j ight|}{Pi_{i=1}^n left| s+p_i ight|}=frac{1}{K_g}$ ，当时，条件才成立，即根轨迹起于开环极点；当，或条件才成立，即根轨迹终于开环零点(有限零点)或无穷远处(无穷零点)。根轨迹始于开环极点，结束于零点。

规则五：实轴上的根轨迹：实轴上的某一线段/射线，若其右边开环零点与极点个数之和为奇数，则该线段/射线属于根轨迹。因为实轴的根总满足 $anglefrac{N(s)}{D(s)}=-180^{circ}pm360^{circ}n$ 。
规则六：根轨迹的分离点与分离角：分离点意味著特征值重根，即，整理有 $Sigma^nfrac{1}{s+p_i}=Sigma^mfrac{1}{s+z_j}$ 。若有条轨迹参与会合分离，那么分离角 $frac{(2k+1)pi}{l},k=0,1,...,l-1$ 。规则七：根轨迹与虚轴交点：令交点为代入特征方程求解。规则八：根轨迹的渐近线：有条根轨迹趋于无穷远处零点就有条渐近线。

渐近线的点斜式：角 $frac{(2k+1)pi}{n-m},k=0,1,...,n-m-1$ ，点 $sigma=frac{极点和-零点和}{n-m}$ 。
规则九：根轨迹的起始角与终止角：由相角条件B）有起始角： $heta_{pk}=lim_{s ightarrow -p_k}{(s+p_k)}=-180^circ+lim_{s ightarrow -p_k}{[Sigma^m_j(s+z_j)-Sigma^n_{i e k}(s+p_i)]}$ 终止角： $heta_{zk}=lim_{s ightarrow -z_k}{(s+z_k)}=-180^circ-lim_{s ightarrow -z_k}{[Sigma^m_{j e k}(s+z_j)-Sigma^n_i(s+p_i)]}$

规则十：根之和： $D(s)=1+G_k(s)=s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0=0$ 。由二次项定理有： $根之和=a_{n-1}(定值)$ 。随增大，一些特征根增大，另一些特征根必减小。